牛顿运动定律中的临界和极值问题

牛顿运动定律中的临界和极值问题1．动力学中的典型临界问题(1)接触与脱离的临界条件两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力FN＝0.(2)相对静止或相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是FT＝0.(4)速度最大的临界条件在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值．2．解决临界极值问题常用方法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．题型一：接触与脱离类的临界问题例1:如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动（ag），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？例2:如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0kg的物块B相连接。另一个质量为1.0kg的物块A放在B上。先用竖直向下的力F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2m，取g＝10m/s2，求刚撤去F时弹簧的弹性势能？例3:如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，用大小等于mg21的恒力F向上拉A，当运动距离为h时A与B分离。则下列说法正确的是（）A．A和B刚分离时，弹簧为原长B．弹簧的劲度系数等于hmg23C．从开始运动到A和B刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小D．从开始运动到A和B刚分离的过程中，A物体的机械能一直增大例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接；两物块A、B质量均为m，初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的v-t关系分别对应图乙中A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，则（）A．t1和t2时刻弹簧形变量分别为kmamgsin和0B．A、B分离时t1akmamgsin2C．拉力F的最小值mamgsinD．从开始到t2时刻，拉力F逐渐增大题型二：相对静止或相对滑动的临界问题例1：如图所示，质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上。A与桌面以及A、B间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ2=0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问：（1）水平作用力F作用在B上至少多大时，A、B之间能发生相对滑动？（2）当F=30N或40N时，A、B加速度分别各为多少？跟踪训练：（多选）如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图乙所示，取g=10m/s2，则（）A．小滑块的质量m=2kgB．当F=8N时，滑块的加速度为1m/s2C．滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1D．力与加速度的函数关系一定可以表示为F=6a（N）例2：如图所示，两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上，且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，使角速度ω缓慢增大。为使细绳有弹力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值。例3：如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量均为m=2kg的小球A和B。现将A和B分别置于距轴rA=0.5m和rB=1m处，并用不可伸长的轻绳相连。已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是fm=1N。试分析转速ω从零缓慢逐渐增大（短时间内可近似认为是匀速转动），两球对轴保持相对静止过程中，在满足下列条件下，ω的大小。（1）绳中刚要出现张力时的ω1；（2）A、B中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2，并指明是哪个球的摩擦力方向改变；（3）两球对轴刚要滑动时的ω3。跟踪训练：（多选）圆形转盘上的A、B、C三个物块如图放置，A、O、B、C在一条直线上，A、B间用一轻质细线相连(开始细线刚好伸直)，三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，A、B、C三个物块的质量分别为m、m、2m，到转盘中心O的距离分别为3r、r、2r，现让转盘以角速度ω（可调）匀速转动，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（）A、当物块C相对转盘刚要滑动时，物块B所受摩擦力为μmgB、当物块C相对转盘刚要滑动时，细线张力为0.5μmgC、当细线内刚出现张力时，物块C所受摩擦力为μmgD、当细线内刚出现张力时，A、B、C所受摩擦力大小之比为3:1:4题型三：绳子断裂与松弛的临界问题例5．如图所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40cm，细线ac长50cm，bc长30cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说法不正确的是()A．转速小时，ac受拉力，bc松弛B．bc刚好拉直时，ac中拉力为1.25mgC．bc拉直后转速增大，ac拉力不变D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大例6．如图所示，将两物块A、B用一轻质细绳（沿水平方向）连接放在粗糙的水平面上，已知两物块A、B的质量分别为m1=8kg,m2=2kg,滑块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2,g=10m/s2,细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块A上施加一水平向右的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为使两滑块共同向右运动,则拉力F多大?题型四：速度最大的临界问题例7．如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电荷量为＋q的圆环A套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：(1)圆环A的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？(2)圆环A能够达到的最大速度为多大？跟踪练习：1.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值是，F的最大值是。思维拓展：若上题中秤盘质量m1=1．5kg，盘内物体P质量为m2=10．5kg，弹簧的劲度系数k=800N/m，其他条件不变，则F的最小值是，F的最大值是。2.如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以多大的加速度a向左运动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g的加速度向左运动时，球此时线中拉力T大小？3.一个带负电荷q，质量为m的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的A点由静止下滑，小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动．现在竖直方向上加如图所示的匀强电场，若仍从A点由静止释放该小球，则()A．小球不能过B点B．小球仍恰好能过B点C．小球能过B点，且在B点与轨道之间压力不为0D．以上说法都不对5.如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。从t＝0开始计时，则：A．Ａ物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动；C．t＝4.5s时,Ａ物体的速度为零；D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。6.如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为mA＝2.0kg，小车上放一个物体B，其质量为mB＝1.0kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0N时，A、B开始相对滑动．如果撤去F，对A施加一个水平推力F′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动，求F′的最大值Fm.aAP450