传热学11-一维稳态和非稳态导热

冶金传输原理北京科技大学冶金与生态工程学院冶金传输原理第二部分传热学第十一章：一维稳态和非稳态导热吴铿2011.04.05第十一章一维稳态和非稳态导热•11.1通过平壁的一维稳态导热•11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•11.3非稳定导热的基本概念•11.4薄材的非稳态导热•11.5半无限大物体的一维非稳态导热•11.6有限厚物体的一维非稳态导热•11.7导热问题的数值解法的简介一、第一类边界条件：表面温度为常数单层平壁a.几何条件：单层平板；s；b.物理条件：、cp、已知；无内热源；c.时间条件：稳态导热，∂T/∂t=0；d.边界条件：第一类。微分方程式可简化：11.1通过平壁的一维稳态导热第一类边条件直接积分得：带入边界条件：边界条件将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方程式。220Tx12TCxC2w11w2w1()/CTCTTs0txTTxsTTw1w2，，11.1通过平壁的一维稳态导热•热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况多层平壁的导热•多层平壁：由几层不同材料组成，房屋的墙壁－白灰内层、水泥沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成；•假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上各处的温度相等；w2w1w1w2w1xTTTTsTTdTdxsw1w2w1w2TTdTqdxsTTQqAAssrsRA11.1通过平壁的一维稳态导热三层平壁的导热流密度分别为：n层平壁导热流密度为11w21w21122w2w3w2w32233w3w4w3w433()()()wsqTTTTqssqTTTTqssqTTTTqsw1w1w4w1w433121123iiiTTTTqssssw1w+11nniiiTTqs1nniiiTTQsAw1w+112w1w112(......)iiisssTTq界面温度•例题1：图为具有内热源并均匀分布的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽远大于壁厚，平壁两表面温度很为恒为Tw，内热源强度为qv，平壁材料的导热系数为常数。试求稳态导热时，平壁内的温度分布和中心温度。11.1通过平壁的一维稳态导热•解：因平壁的长、宽远大于厚度，故此平壁的导热可认为是一维稳态导热，这时导热微分方程式可简化为:220vqdTdx相应的边界条件为：x=s时，T=Twx=-s时，T=Tw11.1通过平壁的一维稳态导热•可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：求解上述微分方程，得：2122vqTxCxC式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：221;02vwqCTsC所以，平壁内温度分布为：222vwqTTsx22vwqTTs•例题2：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度分别为s1=460mm；s2=230mm，导热系数分别为：λ1=0.7+0.64×10-3TW/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3TW/m℃。炉墙两侧表面温度各为T1=1400℃；T3=100℃，求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交界处的温度。•解：按试算法，假定交界面温度为t2=900℃，计算每层砖的导热系数11.1通过平壁的一维稳态导热℃W/m436.1290014001064.07.031℃W/m20.0210090012.014.02•计算通过炉墙的热流密度：11.1通过平壁的一维稳态导热2312121400100884.2W/m0.460.231.4360.20TTqssw1w12110.461400884.21116.81.436sTTqww-℃•计算界面温度：•计算将求出的Tw2与原假设的Tw2相比较，若两者相差不大(工程上一般小于4%)，则计算结束，否则重复上述计算，直至满足要求为止。现在两者相差甚大，需重新计算。重设Tw2=1120℃，则：λ1=0.7+0.64×10-3×(1400+1200)/2=1.53W/m·℃λ2=0.14+0.12×10-3×(1200+100)/2=0.218W/m·℃11.1通过平壁的一维稳态导热•Tw2与第二次假设的温度值相近，故第二次求得的q和Tw2即为正确的结果。二、第三类边界条件周围介质为常数•导热微分方程一维形式1400100990.460.231.50.21538q20.461400939111181.5wT℃220dTdx12TCxC边界条件11f12f20,(),()2dTxqTTdxdTxsqTTdx=11.1通过平壁的一维稳态导热1dTCdx对T求导，得：由11f11f122f111))qCT-TT-CCTC((12f2212f221f11f21)))qCTTCsCTCsTCT(((20,xTC由12,xsTCsC1f1f221(sCTT)f2f1112,11(TTCs)f2f12f111211(TTCTs)在确定出C1和C2后，可得到壁内的温度分布：11.1通过平壁的一维稳态导热f2f1f11121()()11TTxTTsf1f211211TTdTqCsdxf1f2()qKTTf1f211211niiiTTqsf1f211211niiiTTQsAAA12111Ks综合传热系数或传热系数多层平壁平壁面积A一、第一类边界条件：表面温度为常数单层圆筒壁11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面的方程，考虑第一类边界条件：第一类边界条件：对该方程积分两次0ddTrdrdrrrTTrrTT1w12w2，，得出：1dTrCdr第一次积分第二次积分应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果得到圆筒壁内温度分布，温度分布按对数曲线变化11.2通过圆筒壁的一维稳态导热ln112dTrCTCrCdr＝w2w1w12w21122211lnln;lnlnTTTrTrCCrrrrlnlnw1112w2122TCrCTCrC；w2w1w12w21w2w1w12221111lnlnlnlnlnlnlnTTTrTrTTrTrTrrrrrrr•温度梯度表达式：11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•通过圆筒壁的热流量：w2w11211lnTTCdTrdrrrrdTdTQA2rLdrdrw1w2212lnTTQLrrw1w2w1w2221121lnln2TTTTQLrrrLrw1w2211ln2LTTQqddL或在工程计算中，常按单位长度来计算热流量，并记为qL单位长度导热热阻11.2通过圆筒壁的一维稳态导热多层圆筒壁不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算单位长度的热流量w1w+1111ln2nniiiiTTQdLdw1w+1111ln2πnLniiiiTTQqdLd热流量第i层和i+1层之间接触面的温度312w1w11122111(lnln......ln)222iiLidddTTqdddi通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻11.2通过圆筒壁的一维稳态导热由单层圆筒壁考虑多层圆筒壁，见右公式二、第三类边界条件：周围介质温度为常数w1w211f1w11221()1ln2TTQTTdLQdLd32w2f22()QTTdLf1f2L211122111ln2TTQqdLdddf1f2L111121111lnπ2ππniiiinTTqdddd该问题可看作在第三类边界条件下，通过圆筒壁的一维稳态导热问题•例题3：有一半经为R，具有均匀内热源、导热系数为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为Tw，内热源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。•解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简化得到，即:11.2通过圆筒壁的一维稳态导热0vq1ddT×rrdrdr（）•两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对称于中心线，另一个边界条件可表示为r=0时，dT/dr=0。将微分方程分离变量后两次积分，结果为：•根据边界条件，在r=0时，dT/dr=0。可得C1=0；利用另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•例题4高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖，中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度分别为(mm)：s1=115；s2=230；s3=10；s4=10，导热系数分别为(W/m℃)：λ1=1.3；λ2=0.18；λ3=0.22；λ4=52。212vqdTrrCdr212ln4vqTrCrC22w4vqCTR圆柱体内温度分布22()4vwqTTRr11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•热风管道内径d1=1m，热风平均温度为1000℃，与内壁的给热系数α1=31W/m2℃，周围空气温度为20℃，与风管外表面间的给热系数为10.5W/m2℃，试求每米热风管长的热损失。•解：已知d1=1m；d2=d1+2，s1=1+0.23=1.23m；d3=d2+2，s2=1.23+0.46=1.69m；d4=d3+2，s3=1.69+0.02=1.71m；d5=d4+2，s4=1.71+0.02=1.73m。Tf1=1000℃；Tf2=20℃，可求出每米管长的热损失为：12ff4i1i111iin122860.5/m111ln2LTTqWdddd11.2通过圆筒壁的一维稳态导热三、临界绝热层直径•工程上为了减少管道的散热损失，常用的方法是在管道外表面敷设绝热层，但应该注意到，这种方法并不是任何情况下都能减少散热损失，这取决于在管道外面敷设绝热层后总热阻将如何变化。21111221111lnln22xxxdddddd•设在一管道外面包上一层绝热层(如图所示)。•此时单位管长的总热阻γΣ为：11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•式中：α1为管内流体与管内壁之间的给热系数，W/m2℃；α2为绝热层外表面与周围空气之间的给热系数，W/m2℃；dx为绝热层外直径，m；d1和d2分别为管道的内径和外径，m；λ1和λx分别为管道材料和绝热层材料的导热系数，W/m℃。•当管道一定时，d1、d2、λ1、α1和α2都是定值，公式中前两项热阻的数值一定。在绝热层材料选定后，λx也已给定，因此，单位管长的总热阻γΣ仅是dx的函数。当dx增加时，(1/2πλx)ln(dx/d2)增大，而1/(πdxα2)减小。如将γΣ对dx求导，并令其等于零，即•则可求得γΣ的极值条件：211102xxxxddddd22xxcdd11.2通过圆筒壁的一维稳态导热•式中：dc为临界绝热层直径，m。•如继续求γΣ对dx的二阶导数，可得d2(γΣ)/d(dx)2，这表明在绝热层外径等于临界绝热层直径dc时，单位管长的总热阻为极小值，此时相应的热损失最大，如图所示。•当管道外径d2dc时，在管道外面敷设绝热层，热损失不仅不会减少，反而会增大。而且随着绝热层厚度增加，热损失增加，直至绝热层外径等于dc为止。