最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

2-5求通过(0)1x，(1)2x，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()xt：02(1)fttJxdt解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21Lx，0Lx，2Lxx，2dLxdtx代入欧拉方程0LdLxdtx，可得20x，即0x故1xc其通解为：12xctc代入边界条件(0)1x，(1)2x，求出11c，21c极值曲线为*()1xtt2-6已知状态的初值和终值为(1)4x，()4fxt式中ft自由且ft1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()xt：211[2()()]2ftJxtxtdt解：由题可知，2122Lxx，4ft，14x，4fxt欧拉方程：L0dLxdtx横截条件：00txx，ffxtt，0fTtLLxx易得到2dxdt故12xtc其通解为：212xttctc根据横截条件可得：122121114424fffffxccxttctcxttc解以上方程组得：12569ftcc还有一组解12121cctf(舍去，不符合题意ft1)将ft，1c，2c代入J可得3140)3(4)212(50250.2*tdtxxJ.极值轨线为*269xttt2-7设性能泛函为120(1)Jxdt求在边界条件(0)0x，(1)x自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()xt。解：由题可知，21Lx，00x，1x自由欧拉方程：L0dLxdtx横截条件：00txx，L0ftx，0fTtLLxx易得到xta其通解为：xtatb代入边界条件fxta，00x，1ft，求出0a，0b将ft，a，b代入J可得1*2011Jxdt极值轨线为*0xt2－8设泛函dttxxxxLJtft),,,,(2..1201端点),,(02010txxA固定，端点)),(),((21ttxtxBff可沿空间曲线)()(),()(21ffffttcttc移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为0)()([.2.2...1.tfxLxxLxL证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P0)(...tfTxLxcL可得，（1）由c=T,,Txxx),(2.1..),()(.2..1...xxxcT,TxLxLxL),(..1.2.22..1.1.....)()()(xLxxLxxTxcT（2）将（2）代入（1）式，得：0)()(...22.1.1tfxLxxLxL,得证。2-13设系统状态方程12()()xtxt，1(0)2x2()()xtut，2(0)1x性能指标如下：201()2ftJutdt要求达到()0fxt，试求（1）5ft时的最优控制*()ut。（2）ft自由时的最优控制*()ut。解：由题可知构造H：212212THLfuxu正则方程：11212()0()HtxHtx可求得11212()()tctctc控制方程：20Huu由上式可得212()utctc由状态方程12()()xtxt，2()()xtut可得32112342212311()621()2xtctctctcxtctctc（1）5ft时由边界条件1(0)2x，2(0)1x，1()0fxt，2()0fxt可得343212342123121155506215502ccccccccc得123454125322512cccc故32122916()2125252732()112525xttttxttt有25432()12525xtt有最优控制*5432()12525utt（2）若ft自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件21221()()()()()()02fffffffHtuttxttutt得0)(ftu即2()0ft，从而21fcct，代入32122121120621102fffffctcttctct可得6ft因为时间总为正值，所以此题无解。3-2设二阶系统的状态方程),()()(),()(122.1tutxtxtxtx边界条件0)2(,0)2(1)0(,1)0(2121xxxx试求下列性能指标的极小值：2021)]()([21dttutxJ解：由题可知构造H：2112211()()2HLfxuxxu由协态方程和极值条件：112121212[()]0HxuxHxHxuu得11212cctc代入状态方程得：.12212()(),()()xtxtxtctc即3211234221231212xctctctcxctctc，代入初始条件解得：123433.511cccc故3212217()12437()122xttttxttt，此时22221001[()()](33.5)0.30772Jxtutdttdt3-4给定一阶系统方程()()()xtxtut，(0)1x控制约束为()1ut，试求使下列性能指标：101[()()]2Jxtutdt为极小值的最优控制*()ut及相应的最优轨线*()xt。解：由题可知构造H：1()()(1)()22uHxxuxu哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求1()2u极小。且取其约束条件的边界值，即()1ut时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取*11,2()112ut，由协态方程()1Htx可得()1ttce由横截条件(1)0求得1ce，于是有1()1tte显然，当()0.5st时，*()ut产生切换，其中st为切换时间。不难求得ln2set，故最优控制为*1,0ln2()1,ln12etutet将*()ut代入状态方程，得1,0ln2()1,ln12extxtext解得121,0ln2()1,ln12ttecetxtecet代入初始条件(0)1x，可得12c，因而()21txte，0ln2et在上式中，令ln2et，可求出ln12et时()xt的初始条件ln24(ln)2112eexee从而求得22ce。因而()(2)1txtee，ln12et于是，最优轨线为21,0ln2()(2)1,ln12tteetxteeet将求得的*()ut和*()xt代入式J，得最优性能指标1ln1*200ln211132[()()](2)[(2)]ln0.4522222etteeJxtutdtedteedte最优解曲线如下：3-5控制系统111121222,(0)0,(1)1,(0),(1)1xuxxxxuxx，试求最优控制*1()ut,*2()ut以及最优轨线*1()xt和*2()xt,使性能指标1221120()()()Jxtututdt为极小值。解：哈密尔顿函数为221121Hxuuuxu由协态方程：12122(1)0HxHx，解得11221(1)ctcc，由极值条件：1112222020HuuHuu，解得112211()(1)21()2utctcutc，由状态方程有1122111()(1)21()()2xtctcxtxtc，解得211233221231411()(1)42111()(1)()1242xtctctcxtctctcctc，代入初始值解得：12341200cccc，故*1*2()11()2utut*1*22()11()22xttxttt此时1220171()24Jtdt…………………………………………………………………………………………………..3－6已知二阶系统方程122()()()(),xtxtxtut12(0)0(0)0,xx12()2()2,ffxtxt式中fttu,1)(自由。试求使性能指标dttutxtxJft)]()()([21222021为极小的最优控制)(tu，最优轨线)(tx以及最优指标J。解：本例为线性定常系统，积分型性能指标，ft自由，末端固定的最优化问题。构造哈密顿函数为：22212122111222Hxxuxu由极小值条件应取：22221,t*()t|t|1+1,|t|-1ut当（）1（）,当（）当（）,由哈密顿函数沿最优轨线的变化律：**()*()0fHtHt，可得：22212122111*(0)*(0)*(0)*(0)*(0)*(0)*(0)0222xxuxu，即：221*(0)*(0)*(0)02uu，可知：*(0)0u，（其中2*(0)2*(0)u矛盾），由协态方程有：1112212HxxHxx，由初始条件2（0）=0解得：1223t2t（）=-Aesint，由所给状态方程及初始条件解得：………………………………………………………………………………………………………3-7已知二阶系统方程121()()4xtxt，11(0)4x2()()xtut，21(0)4x式中控制约束为1()2ut试确定最优控制*()ut。将系统在ft时刻由(0)x转移到空间原点，并使性能指标20()ftJutdt取最小值，其中ft自由。解：由题可知构造哈密顿函数：22212222121111()()()4244Huxuux按照最小值原理，最优控制应取2*2221,1211(),2112ut，由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律***()()0fHtHt可得*2**1221(0)(0)[(0)](0)(0)04uxu以及*2*******1221()()[()]()()04fffffuttxttut因为21(0)4x，可以求出*(0)0u由协态方程11()0Htx212()()Httx解得11()tc，212()tctc当*212111()()222uttctc时(试取)3211234111()1244xtctctctct2212311()42xtctctc代入初始条件11(0)4x，21(0)4x