应用数理统计Review(2012部分)

nSμXT0例1.设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分？解：，70:0μH原假设备择假设70:1μH检验统计量：拒绝域：1.假设检验)}1(|{|2/1ntTKnsμxt0n=36，α=0.05，4.136/15705.660301.2,tK所以接受H0，在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分。因为{||2.0301}T0301.2975.02/1tt)}1(|{|2/1ntTK例2.在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1，87.2，87.6，95.8，98.4，94.6，85.4设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性水平α=0.1下方差与60是否有显著差异？解:，60:20σH原假设备择假设60:21σH检验统计量：拒绝域：2220(1)nSχσ2222221{(1)(1)}Knn，6823.872s22{3.32516.919}K，n=10，α=0.1，221(1)αχn22(1)αχn2220(1)nSχσ987.6823602,K所以接受H0，因为即在显著性水平α=0.1下，认为方差与60无显著差异.20.95(9)χ3.32520.05(9)χ16.91913.15235例3.设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布，经市场调查，分别抽取容量为21和16的样本，得样本均值分别为650元和800元，样本方差分别为802和702，能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于第一家银行储户的平均年存款余额。（α=0.10）解:检验统计量：拒绝域：（1）先检验两家银行储户的年存款余额的方差有无显著性差异。原假设22210σσH：备择假设22211σσH：2221SSF2212121{(11)(11)}KFFnnFFnn，，，2212121{(11)(11)}KFFnnFFnn，，，α=0.10)11(212nnFα，16,2121nn)1520(05.0，F)11(2112nnFα，)11(1122nnFα，)2015(105.0，F}33.24545.0{FF，33.212.200.45452221ssf22222170,80ss2270803061.1fK所以接受H0，因为认为两家银行储户的年存款余额的方差无显著性差异.，210:μμH原假设检验统计量：拒绝域：备择假设，211:μμH（2）再检验第二家银行储户的平均年存款余额是否显著高于第一家银行储户的平均年存款余额。，800y，650x，yx2)1()1(112122221121nnSnSnnnYXT12{2}KTtnn（）2111nn122αtnn（）α=0.10，211n，162n1121162)1()1(21222211nnsnsn22208015703512{2}（）αKTtnn0.1035t（）1.3062{1.3062}T0.331875.8758650,x，22180s800,y22270s2)1()1(112122221121nnsnsnnnyxt6508000.331875.87583062.1,tK所以拒绝H0，因为认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于第一家银行储户的平均年存款余额5.95822.回归分析1、求线性回归方程：2、显著性检验：检验变量x和y是否显著线性相关的。具体有T检验、F检验法。bxayˆ定理：在一元线性回归的数学模型下，),(~ˆ2xxLσbNb1）b的最小二乘估计)2(~ˆ222222nχσQσσn）（）22ˆ2ˆ3σσnb）（，）相互独立xbyallbxxxy,回归系数（P95）：xxxyyyIIIn221ˆ总体方差的估计（有不同算法）：由此得：，）)1,0(~ˆ1NLσbbxx22ˆˆ2σσLσbbTxx）),1(~)ˆ(222χσLbbxx2222ˆ)ˆ(3σσσLbbFxx）σLbbxxˆˆ）（）（2~nt22ˆ)ˆ(σLbbxx)2,1(~nF从而得到对H0的检验的两种方法：T检验法和F检验法。1.T检验法：0:0bH备择假设0:1bH（2）取检验统计量σLbTxxˆˆ（3）拒绝域为)}2(|{|2/1ntTW（1）提出原假设2.F检验法：0:0bH备择假设0:1bH（1）提出原假设（2）取检验统计量22ˆˆσLbFxx2/nQU（3）则拒绝域为)}21({1nFFW，例1.某地区第1年到第6年的用电量y（单位：亿度）与年次x的统计数据如下：年次x123456用电量y10.411.413.114.214.815.7试求y倚x的回归方程。并在α=0.01下用T检验法检验y与x之间是否存在显著的线性相关关系.，211niix，9112niix2112)(1niiniixxxnxL，6.791niiy，9.107612niiy2112)(1niiniiyyynyL5.2971niiiyx))((1111niiniiniiixyyxnyxL22161919.185.178733.2026.79619.10766.7921615.297解：5.3x2667.13y，4867.9xxxyLLbˆxbyaˆˆ5.179.185.308.12667.1308.1xbayˆˆˆx08.14867.9(2)先求未知参数σ2的估计xyyyLbLQˆ9.1808.18733.204613.02ˆ2nQσ44613.01153.03054.13提出原假设，0:0bH备择假设0:1bH检验统计量,ˆˆσLbTxx拒绝域为)}2(|{|2/1ntTWα=0.01，)4()2(995.02/1tnt6041.4σLbtxxˆˆ1153.05.1708.1}6041.4|{|TW6041.4Wt所以拒绝H0，因为认为y与x之间存在显著的线性相关关系.例2.对某地区生产同一产品的8个不同规模的乡镇企业进行生产费用调查，得产量x(万件)和生产费用y(万元)的数据如下：产量x1.5234.57.59.110.512生产费用y5.66.67.27.810.110.813.516.5试求y倚x的回归方程。并在α=0.01下用F检验法检验y与x之间是否存在显著的线性相关关系.，1.501niix，81.42812niix2112)(1niiniixxxnxL，1.781niiy，75.86012niiy2112)(1niiniiyyynyL08.5921niiiyx))((1111niiniiniiixyyxnyxL21.508181.4289788.1020588.1152988.9821.788175.8601.781.508108.592解：2625.6x7625.9y，1576.4xxxyLLbˆxbyaˆˆ0588.1159788.1022625.68950.07625.98950.0xbayˆˆˆx8950.01576.4(2)提出原假设，0:0bH备择假设0:1bH检验统计量2/nQUF拒绝域为)}21({1nFFW，ULQyy1660.922988.981328.6xyLbUˆ9788.1028950.01660.922/nQUf1328.661660.921702.90)21(1nF，)61(09.0，F75.13}75.13{FW75.13Wf所以拒绝H0，因为认为y与x之间存在显著的线性相关关系.例1.试验4种不同的农药，观察它们的杀虫率有无明显的不同，试验结果如下表所示:部分总体A1A2A3A4样本值87.485.080.290.588.587.394.756.262.455.048.21）在显著性水平α=0.01下，问4种农药的杀虫率的均值是否有明显不同？2）分别求4种不同农药的杀虫率的均值和方差的估计值。3.方差分析解：编制单因素试验数据表252.687.490.556.255.085.088.562.448.280.287.394.7样本和样本值样本均值A1A2A3A4部分总体84.236190.2559.3118.6103.251.6(1)提出统计假设43210μμμμH：43211μμμμH，，，：不全相等.，11nT，，，，22434321nnnnsjjT1，4.83521121TnxsjniijjTSsjniijjx11212.663082873.286321211TnTnSsjjjA222224.8351112.103216.11821361416.252314373.2762ATESSS4373.27622873.286385.100单因素方差分析表4373.276285.1002873.286337108124.9204071.149138.63)73(09.0，F45.8所以拒绝H0，9138.63f因为，45.8总和因子A随机误差临界值F值均方自由度平方和方差来源认为4种农药的杀虫率的均值是有明显不同的.11ˆμx22ˆμx33ˆμx44ˆμx(2)snSσE2ˆ4071.1484.2，90.25，59.3，51.6例2.在显著性水平α=0.01下，用单因素方差分析法判断实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？解：提出统计假设3210μμμH：3211μμμH，，：不全相等.编制单因素试验数据表18446376069478610040679860929598样本和样本值样本均值A1A2A3部分总体13nT，，，364321nnnsjjT194921121TnxsjniijjTSsjniijjx11275721644449826783894284AS21211TnTnsjjj222294913126731498611844164444284ATESSS2160单因素方差分析表总和因子A随机误差临界值F值均方自由度平方和方差来源所以拒绝H0，)10,2(99.0F4284221606444101221422169167.956.79167.9f因为,56.7认为三个工厂所生产的电池的平均寿命有显著差异.无交互作用的双因素试验方差分析数学模型假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表双因素无重复（无交互作用）试验数据表因素A12...bBBB1112112..................baaabXXXXXX.1ajijiTX