高考复习专题一 不等式

不等式知识网络第1讲不等关系与不等式★知识梳理★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;ab;a=b；0baba；0baba；0baba．2．不等式的性质：（1）对称性:abba，abba（2）传递性:,abbc，ac（3）可加性:ab.acbc移项法则:abcacb推论：同向不等式可加.,abcdacbd（4）可乘性:bcaccba0,，,0abcacbc推论1：同向(正)可乘:0,0abcdacbd推论2：可乘方(正):0abnnab`(,2)nNn(5)可开方(正):0abnnab(,2)nNn★热点考点题型探析★考点1不等关系及不等式二元一次不等式组一元二次不等式不等关系不等式从实际问题中建立一元二次不等式解一元二次不等式三个“二次”间的联系二元二次不等式(组)表示的平面区域简单的二元线性规划问题基本不等式基本不等式的几何背景基本不等式的证明基本不等式的应用题型1.建立不等关系[例1]某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？[解析]假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：5006004000300xyxyxy题型2用:比较法两个数的大小例2.比较ambm与ab（其中0ba，0m）的大小解析：()()()()()amabamabmmbabmbbbmbbm，∵0ba，0m，∴()0()mbabbm，所以amabmb．考点2不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论例1.已知：m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b.证法一：由m＞n知m－n＞0，由a＜b知b－a＞0.∴（m－a）－（n－b）＝（m－n）＋（b－a）＞0m－a＞n－b；证法二：∵a＜b∴－a＞－b又∵m＞n∴m＋（－a）＞n＋（－b）∴m－a＞n－b.例2.已知下列三个不等式①0ab;②cdab;③bcad,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题.[解析](1)对②变形0cdbcadabab,由0,abbcad得②成立,∴①③②.(2)若0,0bcadabab,则bcad,∴①②③.(3)若,0bcadacbdab,则0ab,∴①②③.综上所述可组成3个正确命题.考点3不等式性质综合应用题型1.用比较法证函数的单调性例1.（广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试）已知函数()fx的定义域为,0xxRx且对定义域内的任意1x、2x，都有1212()()(),1()0,(2)1.fxxfxfxxfxf且当时（1）求证：()fx是偶函数；（2）求证：()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式2(21)2.fx解析；（1）证明因对定义域内的任意1x、2x都有121212()()(),,1fxxfxfxxxx令，则有()()(1)fxfxf又令121,2(1)(1)xxff得再令121,(1)0,(1)0,xxff得从而于是有()(),()fxfxfx所以是偶函数．（2）设212121110()()()(.)xxxfxfxfxfxx，则221111()()()(),xxfxfxffxx由于21210,1,xxxx所以从而21()0xfx，故1212()()0()(),()(0,)fxfxfxfxfx，即所以在上是增函数．（3）由于(2)1,211(2)(2)(4),ffff所以于是待解不等式可化为2(21)(4)fxf，结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于2214x解得1010,022xxx且．题型2.用比较法处理数列中的不等关系.例2.（广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试改编）已知数列{}na满足12nnana，且0na。（1）求数列{}na的通项公式；（2）数列{}na是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。【解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性解：（1）由12nnana得2210nnana-由一元二次方程求根公式得24412nnnann∵0na∴1nann(2)解：∵1nann∴1211nnannann(21)(21)(1)(21)(1)(1)nnnnnnnnnnnn121nnnn∵nN,∴121nnnn∴11nnaa，∵0na∴1,nnaanN即1231nnaaaaa∴数列{}na有最大项，最大项为第一项121a。第2讲一元二次不等式及其解法★知识梳理★一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。二.一元二次不等式的解集000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx三.解一元二次不等式的基本步骤：（1）整理系数，使最高次项的系数为正数；（2）尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算acb42（4）结合二次函数的图象特征写出解集。四.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解；★热点考点题型探析★考点1一元二次不等式的解法题型1.解一元二次不等式[例1]不等式2xx的解集是()A．,0B.0,1C.1,D.,01,[解析]由2xx得(1)0xx,所以解集为,01,,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当2x时满足不等式,故选D.题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.[例2]已知关于x的不等式220axxc的解集为11(,)32,求220cxxa的解集.【解题思路】由韦达定理求系数[解析]由220axxc的解集为11(,)32知0a,11,32为方程220axxc的两个根,由韦达定理得11211,3232caa,解得12,2ac,∴220cxxa即222120xx,其解集为(2,3).考点2含参数不等式的解法题型1：解含参数有理不等式例1：解关于x的一元二次不等式2(3)30xaxa【解题思路】比较根的大小确定解集解析：∵2(3)30xaxa，∴30xxa⑴当3,3axax时或，不等式解集为3xxax或；⑵当3a时，不等式为230x，解集为3xxRx且；⑶当3,3axxa时或，不等式解集为3xxxa或题型2：解简单的指数不等式和对数不等式例2.解不等式loga(1－x1)＞1(0,1)aa【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a＞1时，原不等式等价于不等式组axx11011由此得1－a＞x1.因为1－a＜0，所以x＜0，∴a11＜x＜0.(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：axx11011由①得x＞1或x＜0，由②得0＜x＜a11，∴1＜x＜a11.综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|a11＜x＜0}，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a11}.考点3分式不等式及高次不等式的解法[例5]解不等式:22(1)(68)0xxx【解题思路】先分解因式,再标根求解[解析]原不等式(1)(1)(2)(4)0xxxx,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下:所以不等式的解集为(,1][1,2][4,).考点4简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于x的不等式2220axx在R上恒成立,求实数a的取值范围.①②421-1x[解析]当0a时,不等式220x解集不为R,故0a不满足题意;当0a时,要使原不等式解集为R,只需202420aa,解得12a综上,所求实数a的取值范围为1(,)2第3讲二元一次不等式（组）与简单线性规划问题★知识梳理★(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0CByAx(A0)当B0时,0CByAx表示直线0CByAx上方区域;0CByAx表示直线0cByAx的下方区域.当B0时,0CByAx表示直线0CByAx下方区域;0CByAx表示直线0cByAx的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,yx）和（22,yx）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.★热点考点题型探析★考点1二元一次不等式(组)与平面区域题型1.求约束条件及平面区域的面积例1.双曲线4yx22的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A.3x00yx0yxB.3x00yx0yxC.3x00yx0yxD.3x00yx0yx【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4yx22的两条渐近线方程为xy