高考复习专题讲解之平面向量、

选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库高三数学第二轮专题复习---平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是()①若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则a·b=x1y1+x2y2②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则｜AB｜=221221)()(yyxx③若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则a·b=0x1x2+y1y2=0④若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0A、①②B、②③C、③④D、①④解：根据向量数量积的坐标表示；若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥bx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，a⊥bx1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0a⊥b)，所以命题(4)是个假命题、【例2】已知a=(－3,－1),b=(1,3)，那么a，b的夹角θ=()A、30°B、60°C、120°D、150°解：a·b=(－3,－1)·(1，3)=－23｜a｜=22)1()3(=2｜b｜=22)3(1=2∴cosθ=baba=2232=23【例3】已知a=(2,1),b=(－1,3),若存在向量c使得：a·c=4,b·c=－9，试求向量c的坐标、解：设c=(x,y),则由a·c=4可得：选校网=4；又由b·c=－9可得：－x+3y=－9于是有：9342yxyx)2()1(由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,将它代入(1)可得：x=3∴c=(3,－2)、说明：已知两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，若已知向量a及数量积a·b，却不能确定b、【例4】求向量a=(1,2)在向量b=(2，－2)方向上的投影、解：设向量a与b的夹角θ、有cosθ=baba=2222)2(221)2(221=－1010∴a在b方向上的投影=｜a｜cosθ=5×(－1010)=－22【例5】已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求AD及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴AD⊥BC又∵C、B、D三点共线，∴BC∥BD又AD=(x－2,y－1),BC=(－6,－3)BD=(x－3,y－2)∴0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx解方程组，得x=59,y=57∴点D的坐标为(59，57)，AD的坐标为(－51，52)【例6】设向量a、b满足：｜a｜＝｜b｜=1，且a+b=(1，0)，求a，b、选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库解：∵｜a｜＝｜b｜=1，∴可设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)、∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，)2(0βsinαsin)1(1βcosαcos由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)由(2)得：sinα=－sinβ……(4)∴cosα=1－cosβ=21∴sinα=±23,sinβ=2323,2123,21ba或23,2123,21ba【例7】对于向量的集合A={v=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意两个向量1v、2v与两个非负实数α、β；求证：向量α1v+β2v的大小不超过α+β、证明：设1v=(x1,y1)，2v=(x2,y2)根据已知条件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1又因为｜α1v+β2v｜=221221)βα()βα(yyxx=)(αβ2)(β)(α21212222221212yyxxyxyx其中x1x2+y1y2≤2121yx2222yx≤1所以｜α1v+β2v｜≤αβ2βα22=｜α+β｜=α+β【例8】已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB、求证：AC⊥BC证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴BC=(－1,1),AC=(1,1)选校网·AC=－1×1+1×1=0∴BC⊥AC、【例9】已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、解，设C(x,0)(x＞0)则CA=(－x,a),CB=(－x,b)则CA·CB=x2+ab、cos∠ACB=CBCACBCA=22222bxaxabx令t=x2+ab故cos∠ACB=11)(1)(1222tbatbaab当t1=ab21即t=2ab时，cos∠ACB最大值为baab2、当C的坐标为(ab,0)时，∠ACB最大值为arccosbaab2、【例10】如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF(2)PA⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜OP｜=λ,则A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)∴PA=(－22λ,1－22λ),EF=(22λ－1,－22λ)(1)｜PA｜2=(－22λ)2+(1－22λ)2=λ2－2λ+1｜EF｜2=(22λ－1)2+(－22λ)2=λ2－2λ+1∴｜PA｜2=｜EF｜2,故PA=EF(2)PA·EF=(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－22λ)=0∴PA⊥EF∴PA⊥EF、选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库【例11】已知).1,2(),0,1(ba①求|3|ba；②当k为何实数时,kab与ba3平行,平行时它们是同向还是反向？解：①ba3=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴|3|ba=2237=58.②kab=k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).设kab=λ(ba3),即(k－2,－1)=λ(7,3),∴λ31λ72k31λ31k.故k=31时,它们反向平行.【例12】已知,1||,2||baa与b的夹角为3π,若向量bka2与ba垂直,求k.解：3πcos||||baba=2×1×21=1.∵bka2与ba垂直,∴(bka2))(ba=0,∴20222bkbakbaak=－5.【例13】如果△ABC的三边a、b、c满足b2+c2=5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线,求证：BE⊥CF.解：,0)5(81)5(81)](21)(21)(21[41)(41)(21),(2122222222222222222acbBCACABBACBCABCBCACABACBCBACACBBCACABBCBACFBECACBCFBCBABE∴BE⊥CF,即BE⊥CF.【例14】是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库解：如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足PA，PB，PC，PO两两不共线，有(PA+PB)·(PC+PO)=(PO+OA+PO+OB)·(PO+OC+PO)=(2PO+OA+OB)·(2PO+O