2013届高考文科数学一轮复习考案2.2 函数的的奇偶性与周期性

§2.2函数的奇偶性与周期性真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选考点考纲解读1奇偶性了解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法.2周期性了解周期函数与最小正周期的意义. 函数的奇偶性、周期性是高考常考内容,通常不单独命题,一般结合函数图象、定义域和值域等综合考查,要注意一些重要类型的奇偶函数、奇偶性与周期性综合命制的试题.周期性常在三角函数中出现,较复杂的函数周期性问题一般出现在抽象函数中,由函数的奇偶性、对称性、解析式来刻画函数的周期性,一般以选择题、填空题的形式出现,或作为解答题的其中一问. 考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.函数的奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果对于函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;如果对于函数f(x)同时具有上述两条性质,则称f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)判断函数奇偶性的方法:①定义法(辨析f(-x)与f(x)的关系):若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选②图象法(利用函数图象对称性确定函数的奇偶性)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.(3)性质:若函数f(x)具有奇偶性,则函数的定义域关于原点对称;若函数f(x)为奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;奇函数f(x)在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应的区间上单调性相反.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.函数的周期性(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.(2)性质:①周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.②如果函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)也是周期函数,且周期为 .③如果函数f(x)的周期为T,则T也是 的周期.④周期的推导与利用函数的周期解决问题.Tω1()fx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=,b=.【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1+2a=0,∴a= ,∴f(x)= x2+bx+1+b,又∵f(x)是偶函数,∴b=0.故a= ,b=0.【答案】 013131313考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.设f(x)是R上任意的一个函数,则下列叙述正确的是 ()(A)f(x)f(-x)是奇函数.(B)f(x)|f(-x)|是奇函数.(C)f(x)-f(-x)是偶函数.(D)f(x)+f(-x)是偶函数.【解析】设F1(x)=f(x)f(-x),由F1(-x)=f(-x)f(x)=F1(x),得F1(x)是偶函数;设F2(x)=f(x)|f(-x)|,其奇偶性取决于f(x)的奇偶性;设F3(x)=f(x)-f(-x),由F3(-x)=f(-x)-f(x)=-F3(x),得F3(x)是奇函数;设F4(x)=f(x)+f(-x),由F4(-x)=f(-x)+f(x)=F4(x),得F4(x)是偶函数.【答案】D考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(- )等于 ()(A)- .(B)- .(C) .(D) .【解析】由f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:f(- )=f(- +2)=f(- )=-f( )=-2× ×(1- )=- .【答案】A521214141252521212121212考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.已知奇函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2]时,f(x)=2x,则f(-1009)=.【解析】函数f(x)周期为4,于是f(-1009)=f(-1)=-f(1)=-2.【答案】-2 考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例1(1)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x-2)为奇函数,且f(3)=5,则f(7)=.题型1函数的奇偶性(2)已知函数f(x)=a- ,若f(x)为奇函数,则a=.(3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)-g(x)=x+2x,则g(x)=.【分析】(1)利用f(x)为奇函数,g(x)=f(x-2)为奇函数,递推出f(x)的性质;121x(2)利用f(x)为奇函数,由特值法f(0)求a的值;考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(3)代换x↔-x后分析g(x)的解析式.【解析】(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),又g(x)=f(x-2)为奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x-2)=-f(x-2),∴f(x+2)=f(x-2),∴f(x+4)=f(x),f(7)=f(4+3)=f(3)=5.(2)∵f(x)为奇函数,定义域为R,∴f(0)=0,∴a- =0,即a= .(3)由 得11112()()2,()()2xxfxgxxfxgxx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 ∴2g(x)=-2x+2-x-2x,∴g(x)=-x+ .()()2,()()2,xxfxgxxfxgxx222xx【答案】(1)5(2) (3)-x+ 【点评】(1)把握住函数图象关于两个点对称时如何推导函数的性质,f(x)与g(x)均为奇函数,可得递推式f(x+4)=f(x),再由f(3)=5就可得到结果.(2)在解决小题时,用特值法确定参数a的值是常用的方法.(3)当一个奇函数与一个偶函数的和为一个解析式时,则这两个函数是已知的,故可用奇偶性求函数的解析式.12222xx考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)函数f(x)为奇函数,且x∈(-∞,0)时,f(x)=x(x-1),则x∈(0,+∞)时,f(x)为 ()(A)-x(x+1).(B)-x(-x+1).(C)x(-x+1).(D)x(x-1).(2)已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)=af(x)+bg(x)+3,且F(-2)=5,则F(2)=.(3)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f( )的值是.72考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)(2)F(-2)+F(2)=a[f(-2)+f(2)]+b[g(2)+g(-2)]+6=6,∴F(2)=1.(3)因为函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,令x=- ,∴- f( )= f(- )= f( ),f( )=0.∵xf(x+1)=(x+1)f(x),∴f(x+1)= f(x)(x≠0),12121212121212121xx【解析】(1)当x0时,-x0,因为函数f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(-x)(-x-1)=-x(x+1),故选A.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴f( )=f(1+ )= f( )=0,∴f( )=f(1+ )= f( )=0,∴f( )=f(1+ )= f( )=0.321211212125232312323272525125252【答案】(1)A(2)1(3)0考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例2(2011年上海卷)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在[3,4]上的值域为[-2,5],求f(x)在区间[-10,10]上的值域.【分析】由g(x)是周期函数,则f(x)可被f(x+n)(n∈Z)表示出来.又函数f(x)=x+g(x)在[3,4]上的值域为[-2,5],故令x∈[3,4],这样就很容易说明问题和解决问题了.【解析】∵g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,∴g(x)=f(x)-x是以1为周期的函数,∴f(x)-x=f(x+n)-(x+n),n∈Z.题型2函数的周期性考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴f(x)=f(x+n)-n,n∈Z.令x∈[3,4],n∈Z,则-2≤f(x+n)-n≤5.∴-2+n≤f(x+n)≤5+n.∴n=-13时,x+n∈[-10,-9],-15≤f(x+n)≤-8;n=-12时,x+n∈[-9,-8],-14≤f(x+n)≤-7;……n=6时,x+n∈[9,10],4≤f(x+n)≤11.∴所求的值域为[-15,11].【点评】本题所给的解题过程是一般解法,思维量大但思路清晰,每步的理由明确,要求有很高的数学逻辑推理能力和转化化归的能力.另外,本题还可以逐步地分析每个区间再求值域.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2若函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(0)=1,f(1)=2,求f(2012)的值.【解析】∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x+2)+f(x),∴f(x+2)=-f(x-1),∴f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴f(x)是周期为6的周期函数.又∵f(x+1)=f(x)-f(x-1),∴f(2)=f(1)-f(0)=2-1=1.∴f(2012)=f(6×335+2)=f(2)=1.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)是周期函数;(3)若f(x)在[0,1]内是单调函数,求f( )与f( )的值.【分析】分析函数的奇偶性就是辨析f(-x)与f(x)的关系,故令x=0,就可以产生f(-y)与f(y)的形式;求周期要求系数相同,故只需令y为一个常数.【解析】(1)令x=y=0,得2f(0)=2[f(0)]2.∵f(0)≠0,∴f(0)=1.1316 例3定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,f( )=0.12题型3函数奇偶性、周期性与其他知识的综合考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)令y= ,得f(x+ )+f(x- )=0.∴f(x+ )=-f(x- ).∴f(x+1)=-f(x).∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x).∴f(x)是T=2的周期函数.(3)令x= ,y= ,得f( )+f( )=2f( )f( ),1212121212131612161316令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),∴f(-y)=f(y),∴f(x)为偶函数.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴f(x)在[0,1]上是减函数,∴f( )f( )=0,∴2f( )-1=0,∴f( )= .令x=y= ,得f( )+f(0)=2[f( )]2,∴[f( )]2= = ,∵f( )0,∴f( )= .1612131312161316161()(0)32ff34161632f( )[