2332-电大-高等数学基础复习资料(更新至2016年1月)

1高等数学基础复习资料复习资料一一、单项选择题1.设函数)(xf的定义域为)(，，则函数)(xf+)(xf的图形关于（C）对称。A.xyB.x轴C.y轴D.坐标原点2.当0x时，变量（D）是无穷小量。A．x1B.xxsinC.x2D.)1ln(x3．下列等式中正确的是（B）．A．xdxxdarctan)11(2B.2)1(xdxxdC.dxdxx2)2ln2(D.xdxxdcot)(tan4．下列等式成立的是（A）．A．)()(xfdxxfdxdB.)()(xfdxxfC.)()(xfdxxfdD.)()(xfxdf5．下列无穷积分收敛的是（C）．A．11dxxB.11dxxC.1341dxxD.1sinxdx二、填空题1．函数24)(2xxxf的定义域是22xx或．2．函数12xxy的间断点是1x．3．曲线xxf1)(在点（1，1）处的切线的斜率是21k．4．函数)1ln(2xy的单调增加区间是，0．5．dxedx2=dxex2．三、计算题1．计算极限4586lim224xxxxx．解：原式=)4)(1()4)(2(lim4xxxxx=12lim4xxx=32．2．设xxxylntan2，求y．2解：xxxxxy1ln2sec22=xxxxln2sec23．设xxy35ln，求y．解：)(lnln3524xxxy=xxx24ln354．设52cosxxy，求dy．解：45)sin(cos2xxxy=452sinxxdxydy=dxxx)52sin(45．设53cosxxy，求dy．解：425)sin(cos3xxxy=425sincos3xxxdxydy=dxxxx)5sincos3(426.设xxey3sin，求dy解：3ln3)(sinsinxxxey=3ln3cossinxxxedxydy=dxxexx)3ln3cos(sin7．设2coslnxy，求dy．解：)(coscos122xxy=xxx2)sin(cos122=2tan2xx．8．设)(xyy是由方程yxyx2sin2确定的函数，求y．解：方程两边同时对x求导得：2222cossin2yyxyyyxyx移项合并同类项得：yxyyyxyyxsin22)2cos(222再移项得：xyyxyxyyy2cossin222229．计算不定积分dxxxcos．3解：原式=xdxcos2=Cxsin210．计算定积分exdxx1ln．解：原式=exdxexx122)(ln21ln2=exdxe12212=141222exe=4141222ee=4142e11．计算定积分20sinxdxx．解：原式=20)cos(02cosdxxxx=02sin)00(x=1四、应用题1．求曲线xy2上的点，使其到点)03(，A的距离最短．解：设曲线xy2上的点)(yx，到点)03(，A的距离为d，则22)3(yxd=xx2)3(=952xx求导得：952522xxxd令0d得驻点25x，将25x带入xy2中得210y，有实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线xy2上的点)21025(，和点)21025(，到点)03(，A的距离最短．五、证明题当0x时，证明不等式)1ln(xx．证明：设)1ln(xxy∵0x时，0y求导得：xy111=xx1当0x，0y即)1ln(xxy为增函数∴当0x时，0)1ln(xxy即)1ln(xx成立复习资料二一、单项选择题1．设函数)(xf的定义域为)(，，则函数)(xf-)(xf的图形关于（D）对称．A.xyB.x轴C.y轴D.坐标原点2．当0x时，变量（C）是无穷小量。4A．x1B.xxsinC.1xeD.2xx3．设xexf)(，则xfxfx)1()1(lim0=（B）．A．e2B.eC.e41D.e214．dxxxfdxd)(2（A）．A．)(2xxfB.dxxf)(21C.)(21xfD.dxxxf)(25．下列无穷积分收敛的是（B）．A．0dxexB.0dxexC.11dxxD.11dxx二、填空题1．函数)1ln(92xxy的定义域是231xx且．2．函数0sin01xxxxy，，的间断点是0x．3．曲线1)(xxf在点（1,2）处的切线斜率是21k．4．曲线xxf)(在点1x处的切线斜率是21k．5．函数1)1(2xy的单调减少区间是1，．6．dxx)(sin=Cxsin．三、计算题1．计算极限xxx5sin6sinlim0．解：原式=5655sin66sinlim0xxxxx=5655sinlim66sinlim00xxxxxx=562．计算极限xxx5sin2sinlim0．解：原式=5255sin22sinlim0xxxxx=5255sinlim22sinlim00xxxxxx=5253．计算极限xxx3sin5sinlim0．解：原式=3533sin55sinlim0xxxxx=3533sinlim55sinlim00xxxxxx=354．计算极限xxx2sin3sinlim0．解：原式=2322sin33sinlim0xxxxx=2322sinlim33sinlim00xxxxxx=235．设22sinxxyx，求y．解：y=422)2(sin)2ln2(cosxxxxxxx=312sin22ln2cosxxxxxxx6．设xey2sin，求y．解：)(sinsin2xxeey=xxxeeecossin2=xxee2sin7．设)(xyy是由方程yexycos确定的函数，求dy．解：方程两边同时对x求导得：yexyxyysincos移项合并同类项得：xyyexysin)(cos再移项得：yexxyycossin所以dy=dxy=dxexxyycossin8．计算不定积分xdxx3cos．解：设xu，xdxdv3cos，则dxdu，xv3sin31，所以由分部积分法得原式=xdxxx3sin313sin31=Cxxx3cos913sin319．计算定积分edxxx1ln2．解：原式=exdx1)ln2()ln2(=1)ln2(212ex=2429=25四、应用题61．圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：假设圆柱体的底半径为x，体积为V，则高为22xl，所以圆柱体的体积为ShV31=22231xlx求导得：V=22222223132xlxxxlx=)32(33222xxlxl令V=0得驻点lx36（0x）又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为l36和l33时，圆柱体的体积最大．五、证明题当0x时，证明不等式xxarctan．证明：设xxyarctan∵0x时，0y求导得：2111xy=221xx当0x，0y即xxyarctan为增函数∴当0x时，0arctanxxy即xxarctan成立复习资料三一、单项选择题1．下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．A．2)()(xxf，xxg)(B．2)(xxf，xxg)(C．3ln)(xxf，xxgln3)(D．2ln)(xxf，xxgln2)(2．当0x时，下列变量中（A）是无穷小量．A．)1ln(2xB．xxsinC．x1sinD．xe13．当0x时，下列变量中（A）是无穷小量．A．)1ln(2xB．xxsinC．x1sinD．xe4．当0x时，下列变量中（A）是无穷小量．7A．)1ln(2xB．xxsinC．x1sinD．xe15．函数622xxy在区间（2，5）内满足（D）．A．先单调下降再单调上升B．单调下降C．先单调上升再单调下降D．单调上升6．若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf=（B）．A．21xB．32xC．x1D．xln7．若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf=（A）．A．21xB．32xC．x1D．xln8．下列无穷积分收敛的是（D）．A．0sinxdxB．11dxxC．11dxxD．02dxex二、填空题1．若函数0201)(2xxxxfx，　，，则)0(f1．2．函数002sin)(xkxxxxf，　，，在0x处连续，则k2．2．函数1111)(2xaxxxxf，　，，在)0(，内连续，则a2．3．曲线2)(xxf在点（2，2）处的切线斜率是41k．4．函数1)1(2xy的单调增加区间是，1．5．dxxdxd2sin2sinx．三、计算题1．计算极限)3sin(9lim23xxx．解:原式=)3sin()3)(3(lim3xxxx=)3(lim)3sin(3lim33xxxxx=)33(1=62．设xxeyxlntan，求y．8解：xxexeyxx1sectan22’．设2sinxxy，求y．解：2cos221xxxy3．设xy2cosln，求y．解：y=)sin(cos2cos12xxx=xx2cos2sin4．设)(xyy是由方程3yeexy确定的函数，求dy．解：方程两边同时对x求导得：yyeyexy23移项合并同类项得：xyeyye)3(2再移项得：23yeeyyx所以dy=dxy=dxyeeyx235．计算不定积分dxxxln1．解：原式=xdxlnln1=Cx)ln(ln6．计算定积分edxxx12ln．解：利用分部积分法得原式=edxxexx1211ln=111exe=)11(1ee=e21四、应用题1．在抛物线xy42上求一点，使其与x轴上的点)03(，A的距离最短．解：设曲线xy42上的点)(yx，到点)03(，A的距离为d，则22)3(yxd=xx4)3(2=922xx求导得：922222xxxd=9212xxx9令0d得驻点1x，将1x带入xy42中得2y，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线xy42上的点)21(，和点)21(，到点)03(，A的距离最短．五、证明题1．证明：若)(xf在][aa，上可积并为奇函数，则aadxxf)(=0．证明：∵)(xf在][aa，上可积并为奇函数，即有)()(xfxf∴aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(设tx，则dtdx，当ax时，at；0x时，0t，则上式中的右边第一式计算得：0)(adxxf=0)(adttf=0)(adttf=adttf0)(=adxxf0)(代回上式中得0)(aadxxf，证毕．复习资料四一、单项选择题1．函数2xxeey的图形关于（A）对称．A.坐标原点B.x轴C.y轴D.xy1．函数2xxeey的图形关于（C）对称．A.xyB.x轴C.y轴D.坐标原点2．在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量．A.)(1sinxxxB.)0(1sinxxC.)0)(1ln(xx