初等几何研究-1-目录1.初等几何研究......................................................................................22.线段相等的证法..................................................................................83.等角的证法........................................................................................124.和差倍分的证法................................................................................175.平行线的证法....................................................................................226.梅内劳斯定理与塞瓦定理................................................................287.共点线的证法....................................................................................338.共线点的证法....................................................................................379.垂直线的证法....................................................................................4210.面积方法............................................................................................4711.几何变换(一)——平移................................................................5312.几何变换(二)——旋转................................................................5813.几何变换(三)——轴反射............................................................6214.共圆点的证法....................................................................................67初等几何研究-2-初等几何研究第一节引言一、归纳的经验几何(公元前七世纪前)二、初步的推理几何(公元前七世纪至公元前四世纪)由经验和已有的几何知识出发,按照逻辑的要求,对某一项几何知识进行推理论证。对实验几何进行总结工作,其伟大功绩归于古希腊的哲学家和数学家,受到哲学思想的影响,把实验几何加以抽象化、系统化。最主要的就是把实验几何改造为演绎推理的科学。古希腊:泰勒斯毕达格拉斯(勾股定理)柏拉图雅典学派提出的三个经典问题:化方为圆、三等分角和倍立方体直至公元前四世纪,未见按逻辑编排的系统的几何书籍出现三、系统的推理几何(公元前四世纪至公元后18世纪)《几何原本》的出现,由古希腊欧几里得按前人所提的几何知识,按照逻辑的要求的顺序,前因后果地进行编排,并先提出定义和公理,而后在这基础上,对各项知识都作推断论证。《几何原本》的简介:公元前300年左右,希腊数学家欧几里得综合了人们对图形的认识成果,发表了13卷的巨著《几何原本》这是用公理化方法进行演绎推理的最早典范。《原本》的发表,标志着初等几何的诞生。《原本》中所介绍的几何学称欧氏几何,这是在整个数学发展史中最早、最完备、最成功的数学模型。《原本》前10卷初等几何研究-3-介绍平面几何,后3卷介绍立体几何,第一卷系统地提出二十三个定义、五条公理,成为《原本》的理论基础。四、现代几何的产生与发展(公元后18世纪至今)俄国数学家罗巴切夫斯基罗氏几何德国数学家黎曼黎氏几何统称非欧几何罗氏几何:假设过直线外一点可引不止一条而是无数条直线平行该直线。第三节命题的四种变化换位:把一个命题的前提和结论互换其位换质:把命题的两部分同时加以否定,至于地位则保持不变两命题若互为逆否命题则两命题同真同假,等效或等价。若PQP称为Q的充分条件,Q称为P的必要条件。若PQP称为Q的充分必要条件。必要:无它必不行,有它未必行。充分:有它必行,无它未必不行。充要:有它必行,无它必不行。初等几何研究-4-第四节逆命题证法证明逆命题,常用下列三种方法(一)直接证明逆命题例:定理:线段的中垂线上任意一点,距线段两端点等远。逆命题:距线段两端等远的点在线段的中垂线上。逆命题的证明与原命题的证明反其道。(二)证明与逆命题等效的否命题否命题:不在线段中垂线上的点,距线段两端不等远(三)利用原命题本身证明逆命题定理:两直线被一直线所截,若同位角相等,则此两直线平行。(利用外角定理证明)逆命题:两平行直线被一直线所截,则同位角相等。第五节直接证法与间接证法直接证法归谬法证明方法反证法间接证法穷举法同一法直接证法:由命题的假设出发,根据定义、公理、定理进行一系列正面的逻辑推理。间接证法:通过证明命题的等效命题,间接地达到目的。同一法根据的事实:具有所示性质的图形是唯一。初等几何研究-5-例1圆内不是直径的两弦,不能互相平分。EODCAB例2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。例3若四边形有一双对边中点的连线等于他双对边的半和,则他双对边必互相平行。DABCEFG例4若四边形的对角互补,则四边形的四顶点共圆。EDCAB例5在矩形ABCD中,2,ABBCE是CD边上一点,若12CBE,则.ABAE(同一法)初等几何研究-6-第六节综合法与分析法综合法:由命题的假设入手,由因导果,通过一系列的正确推论,逐步靠近目标,最终证出结论。分析法:由命题的结论入手,承认它是正确的话,执果索因,寻找在什么情况下结论才是正确的,一步步逆而推之,直到与假设会和。例1平行四边形ABCD外接于平行四边形EFGH,则其对角线,,,ACBDEGHF共点。OABCDHFEG例2证明等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和为常数。ABCDFE初等几何研究-7-第七节演绎法与归纳法演绎法:由一般规律推导特殊事项。归纳法:由各个特殊事项加以抽象提高,以得出一般规律,它分为普通归纳法和数学归纳法(归纳是发现真理的重要方法)例1设()Sn为直线被n个点划分的最多部分数;设()Gn为平面被n条直线划分的最多部分数;设()Sn为空间被n个平面划分的最多部分数;例2圆上一点至内接偶数边多边形(不一定是凸的)相间诸边(所在直线)的距离之积,等于该点至其余诸边(所在直线)的距离之积。线段相等的证法-8-线段相等的证法一、线段相等问题的求解思路1、等腰三角形的利用;2、平行四边形的利用;3、全等三角形的利用;4、圆中等弧(圆周角)对等弦的利用;5、成比例线段线段的数量关系的利用;6、边比定理、张角定理的利用;7、面积方法的运用。边比定理:若ABC和ABC各顶点所对的边为,,abc和,,abc,则sinsinsinsinsinsinsinsinaAbBAcCaAbBAcC张角定理:若D是ABC的BC边上任一点,则sinsinBDABBADDCACCAD二、例题1、如图,正方形ABCD中,E是CD的中点,F是AD的中点,连接BE与CF相交于P,求证:APAB.PACDBFE2、如图,求证:如果圆的内接四边形的两条对角线互相垂直,则从对角线交点至一边中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离.HEODBACGF线段相等的证法-9-3、在ABC的两边AB和AC向外作正方形ABEF和ACGH,则BC边上的高平分线段FH.EHBCAGFMD4、如图,AB是半圆的直径,ABACABAC,,在半圆上任取一点D,作CDDE,交直线AB于点E,ABBF,交线段AD的延长线于点F,求证:BEBF.DOBCFAE5、AB是圆的直径,从圆上一点C作CDAB于D,圆在,AC两点的切线相交于E.证明BE平分CD.AECBD线段相等的证法-10-6、如图,将圆O的弦AB向两方延长至,CD,使,ACBD从,CD引圆O的切线,CEDF分居AB两侧,连接切点的直线EF交AB于M,求证:AMBM.MABDCEF7、设圆O是ABC的BC边外的旁切圆,,,DEF分别是圆O与,,BCCAAB(或延长线)的切点,若OD与EF相交于K.求证:AK平分BC.MKOAFEBCD三、练习1、四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,,,,PEADPFBCPGCDM是线段PG和EF的交点.求证:MEMF.MPDCBAEFG线段相等的证法-11-2、如图,已知在ABC中,D为AC上一点,且ADDCCB.过D作AC的垂线交外接圆于M.求证:M为优弧AB的中点.CABMD3、如图,已知ABC内接于O,,ADBD为O的切线,作//DEBC,交AC于E,连结EO并延长交BC于F.求证:BFFC.EOADBCF4、如图,已知圆内接四边形ABCD的对角线,ACBD交于点N,点M在对角线BD上,且满足,BAMDANBCMDCN,求证:M为BD的中点。.NCABDM等角的证法-12-等角的证法一、证明角相等1、角的平分线定义的利用.2、平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等.3、三角形外角定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和.4、全等三角形的性质:全等三角形对应角相等.5、相似三角形的性质:相似三角形对应角相等.6、等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一.7、平行四边形的性质:平行四边形的对角相等.8、菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.9、圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等10、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角是直角.11、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.二、例题1、设圆内接锐角ABC,过从,BC为切点的切线相交于点N,取BC的中点M,试证:.BAMCANMANBC等角的证法-13-2、在矩形ABCD内,M是AD的中点,N是BC的中点,在线段CD的延长线上取一点P,用Q表示直线PM和AC的交点,证明:QNMMNP.ABCDPMNQ3、从圆O外一点P引切线PC和PD,通过弦CD的中点M任作一弦AB,求证:PO平分APBMDPCAB4、已知K为平面上两半径不等的圆O和圆P的一个交点,两外公切线AB,DC分别切两圆于,,,ABDC,,MN分别为,ADBC的中点.求证:OKMPKN.MOKPABDCN等角的证法-14-5、在梯形ABCD中,已知对角线AC与腰BC相等,M是底AB的中点,L是边DA的延长线上一点,连接LM并延长交对角线BD于点N.求证:ACLBCN.MEDABCLN6、两圆内切于A,外圆的弦BC切内圆于D,连接,ABAC和AD,则BADCAD。ABCD7、在平行四边形ABCD中,E为AD上一点,F为AB上一点,且,BEDFBE与DF相交于G,求证:BGCDGC。GADBCEF等角的证法-15-8、如图,O