解直角三角形第二课时定稿888

蒸阳中学数学组解直角三角形的应用（第一课时）学习目标了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系有的放矢30°45°60°sinαcosαtanαcota角α三角函数2122222132323133温故而知新3133（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：abAAA的对边的邻边cotbaBBB的对边的邻边cot铅垂线水平线视线视线仰角俯角在进行观察或测量时，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；30°45°BOA东西北南方向角正北方向或正南方向线与已知射线所成的锐角叫做方向角。【例1】直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB.βαPABO450米合作与探究解：由题意得，30,45PAOPBOtan30,tan45POPOOAOB4504503,tan30OA450450tan45OB(4503450)()ABOAOBm(4503450).m答：大桥的长AB为PABO30°45°400米答案:米)2003200(合作与探究变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO.60°30°POBA200米C答案:米)3003100(合作与探究变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO.45°30°200米POBAD答案:米)3100300(合作与探究变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.合作与探究图5QBCPA45060°30°答案：AB≈520（米）变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据）.21.41431.732，βαABO45°30°200米POBD归纳与提高45°30°PA200米CBOβαABO45°30°45045°30°40060°45°20020045°30°例1:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1.2773160答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ21.414,31.732初探中考题【例3】（2008芜湖）在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米）参考数据:答案:米15.121.414,31.732,62.4493.（2008广安）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由(参考数据：）初涉中考题ADCB30º45ºABCDD′思考1：一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯角分别为30°、45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD＝200米，求塔高AB？意犹未尽例2如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.1海里）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505在Rt△BPC中，∠B＝34°PBPCBsinPC72.505129.7sinsin340.559PCPBB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里．65°34°PBCA当堂反馈1.如图1，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（保留根号）．2.如图2，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°则折叠后重叠部分的面积为（根号保留）．100(31)m图1图2222cmAC=AB=2D简单实际问题数学模型直角三角形三角形梯形组合图形构建解通过作高转化为直角三角形解思想与方法数学建模及方程思想解方程1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.思想与方法1.天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度．tan45CD解：过点C作CD⊥AB于D，则在Rt△ACD中，AD==CD，33∴AB=AD-BD，即20=CD-CD解得，CD=（30+1033）米，故气球高为30+10米．tan60CD33=CD．在Rt△BCD中，BD=2.如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？26015解：（1）过点A作AD⊥BC于D，由题意易得∠B=30°，∠BAC=105°，∠BCA=45°，AC=30千米，在Rt△ADC中，CD=AD=AC．cos45°=30千米，在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t==4（时）．33303034151532（2）由（1）知BD=AB·cos30°=30千米，（千米）=（千米/时）．∴BC=30+30v=1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。