2017高考数学知识点之平面向量

2017高考数学知识点之平面向量考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．§05.平平面面向向量量知知识识要要点点1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）2121yyxx(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)abxxyyabba()()abcabcACBCAB向量的减法三角形法则1212(,)abxxyy()ababABBA,ABOAOB数乘向量1.a是一个向量,满足:||||||aa2.0时,aa与同向;0时,aa与异向;=0时,0a.(,)axy()()aa()aaa()abab//abab向量的数量积ab是一个数1.00ab或时，0ab.2.00||||cos(,)abababab且时，1212abxxyyabba()()()ababab()abcacbc2222||||=aaaxy即||||||abab4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段21PP所成的比为λ，即PP1＝λ2PP，则OP＝111OP＋112OP(线段的定比分点的向量公式).1,12121yyyxxx(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP＝21（1OP＋2OP）或.2,22121yyyxxx(5)平移公式设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则PO＝OP+a或.,kyyhxx曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：.2sinsinsinRCcBbAa余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.（7）三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=cPbPaPP[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：图1图2图3图4图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,ABCOabcIABCDEFIABCDEFrararabcaabcACBNEF即2cba]则：①AE=as=1/2（b+c-a）②BN=bs=1/2（a+c-b）③FC=cs=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=cbaabcba2（如图3）.⑹在△ABC中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan.证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则DCBDBCBCABBDACAD222.证明：在△ABCD中，由余弦定理，有BBDABBDABADcos2222①在△ABC中，由余弦定理有BCABACBCABB2cos222②，②代入①，化简可得，DCBDBCBCABBDACAD222（斯德瓦定理）①若AD是BC上的中线，2222221acbma；②若AD是∠A的平分线，appbccbta2，其中p为半周长；③若AD是BC上的高，cpbpappaha2，其中p为半周长.⑻△ABC的判定：222bac△ABC为直角△∠A+∠B=22c＜22ba△ABC为钝角△∠A+∠B＜22c＞22ba△ABC为锐角△∠A+∠B＞2附：证明：abcbaC2cos222，得在钝角△ABC中，222222,00coscbacbaC⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)(22222bababaDACB图5