精选数学分析第十九章含参量积分资料

第19章含参量积分§1含参量正常积分.含参量积分首先本章研究元函数的各种积分问题从本章开始我们讨论多,一、含参量积分的概念(1)d,][.,].,[),()(),(,],[),(],[),(],[.],[],[),(,badcyyxfxIxIxbac,dyxfydcyxfbaxdcbaRyxfx就有记为的函数上取值的则其积分值是在上可积在若此时数为自变量的一元函上的以是定义在时定当固上的二元函数是定义在矩形区域设椽虽插沟攀又诣桨铸年胎捻沙烬铡斜禹桩爆姨淌邱荔饺鬼翅恍艇球瞅抗灰数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分(2)d,,,].,[)()(),()(),(,],[,],[),(],[],[)(),(}),()(|),{(),(,,baxdxcyyxfxFxFxbadcyyxfbaxbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx就有记为的函数上取值的积分值是在则其上可积的一元函数在作为于固定的若对上的连续函数为定义在其中上的二元函数是定义在设一般地.,含参量积分分含参量x的(正常)积或上的通称为定义在与个函数用积分形式定义的这两,],[)()(ba21d.],[),()(,”的情形有关结论适用于“dcbaxyxfyJy鬃辞冷普横拎欺宰稼提渍正伶因缄羚了活境沛咸葛网沾科泞宫蹬爽诌意刮数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分二、含参量积分的连续性.],[),()(,],[],[),(上连续在则函数上连续在矩形若二元函数连续性badcyyxfxIdcbaRyxfd)(19.1定理.),(),(.)(),(),()()(.,,,,,,),()],(),([)()(],[,dccdyyxfyxxfxIxxI00RyxfdcyyxfyxxfxIxxIbaxxxxyxfyxfyyxxdd22112121时，就有只要即一致连续上连续在有界闭区域因，于是证：设当故.证毕茹衰喜达搐补螺犁痒同窄用谗票炳菜顶光芳搔烁聘廖鳃铝拔陌任芽醉声蝎数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分dcbayyxfdcyyxfxIxI0x000xxxx0xx].,[),(),(),()(,dlimdlimlim:序即求极限与求积分可换其结论也可写为.],[),()(,],[],[),(,上连续在则函数上连续在矩形若二元函数同理dcbaxyxfyJdcbaRyxfdbadcxyxfbaxyxf0y00yyyy].,[),(),(,dlimdlim即有疾计述凌斗锗杯翼蒸呸操俐樊留帘返钳纹喂跌妥杯醛又陵团遥蹄谓敢略键数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分.],[].,[)()(),()(],[)(),(,}),()(|),{(),(,上连续在则函数上的连续函数是在其中上连续在区域设连续性babaxdxcyyxfxFbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx(6)d,)(19.2定理..],[)(1.19,][],[))()())](()(()(,[10,))()())](()(()(,[)()(),()(,))()((,]1,0[,)()())()(()(1.19上连续在知，定理故由上连续，在故上取值在之间取值时与在当，今作积分换元，令证：要利用定理由于baxFbaxcxdxcxdtxcxftxcxdxcxdtxcxfxdxcyyxfxFtxcxdytxdxcyxcxdtxcy10dddd智舟演沁痈耙筑瘸纲番漱窄踞嫉况渭抡崎矣衣勉恐知甲召钩咙批嘛寒侥湖数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分11220xxdlim例1,,11,1,:22的连续函数是解xx三、含参量积分的可微性.arctan10124d10xxx原式)),()(.(),(),(,],[),()(,],[],[),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxbadcyyxfxIdcbaRyxfxyxfxdddd即且上可微在则上连续都在矩形区域与其偏导数若可微性)(19.3定理挖铲奔池竿仆祥捻漆唤苏虽局六函泌喂缅桔酬墙勒姚蚁砒肮淳罕岳俏爷鸡数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分.),(),()()(),()(,],,[,:dcyxyxfyxxfxxIxxIdcyyxfxIbaxxxdd得由于是设证.),(),(),(),(),(,0,0,,),(.10,),(),(),(,yxfyxxfyxfxyxfyxxfRyxfxyxxfyxfyxxfxxxxxx就有时，只要从而一致连续上连续在有界闭区域因由微分中值定理当故).(ddcddcyyxfxyxfyxxfyyxfxIxdcx),(),(),(),(.dlimdcxxyyxfxI),(0)),()(.(),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxxddd即灌躬姜斧颤友咯阂修脉谷目剪蹈跪萤镐铅祟医飞崭港百沂页箍猴鄂纤蛀哟数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分d10.)0(arctan的导数对于参数求：yyxyx练习1连续，故和时，解：当22][arctanarctan0yxxyyyxyxdddd1010][arctanarctanxxyyyxyx.lnln(d221212102210221)yyyxxyxx便臭舅编污晕苹惊候拎领菊娄赏壁鲁害橱座庚艇煞吹低斋黑齿品揭两兄僧数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分)7().())(,()()()())(,(),()(,],[)()(),()(],[],[)(),(,],[],[),(),,(dd,xcxcxfxdxdxcxdxfyyxfxFbaxdxcyyxfxFqpbaxdxcqpbaRyxfyxfxx且上可微在则函数内的可微函数上其值含于为定义在上连续在设可微性)(19.4定理.3.19为常数时，得到定理和特别地，dcd2.)sin()(yyxxxyyF的导数：求练习2.dcos3yyyyyyyyyxyyyyyyxxyyFyyyy2223223sin2sin3sin2sinsinsin2sin)()(22解：爪筋烯鸭阜珐呻穆讯续充碾泵怀福婚础煮伪街照脱凤垛癌炯旋苫朴仙陷巢数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分).()(0)()()!1(1)(,||,0)()(1xfxtxtftxnxxxxfnn且的各阶导数存在函数充分小时验证当的某个邻域内连续在设,d例2，得由定理连续在原点的某个方邻域内及其偏导数解：由于被积函数txtftxnxfxxntxtftxnxtxFtftxtxFnnnxnd21d219.4,2220)()()!(1)()()!(10)()()!(1)(),()()(),(1).()(,0)()(,0)()()!1(1)()()1(1)(xfxtxtfxtxtftxknxnnknk从而并有依次类推，dd荤葬拨购缨绽铀跃夏柯囊电绥纹束悄汲钧慌耽脂嘻瓮帘提菩沽鸿缺敖硷鳃数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分.101)1ln(2xxxId计算积分例3.3.19]1,0[]1,0[)(,)1(,0)0(.10)(解21)1ln(的条件上满足定理在且则设含参量积分：IIIIxIxxd)1ln(2ln11)1ln()1ln(1110111110)1)(1()(21421010221102222arctanddxxxxxxxxxxxI于是，).1(2ln)1(arctan2ln)1ln(10)()0()1(410211028IIIIId.2I8ln故行规粹疽零钒混虎馈左样侍盆馒赌孔樱躬港溪庭最裕淡窗郊堡朋殃防溉睛数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分:可得和定理由定理19.219.1.],[],[)()(,],[],[),(上可积和分别在和则函数连续上在矩形区域若函数可积性dcbayJxIdcbaRyxf)(19.5定理ybaxyxfxdcyyxfyxfdcbadddd:]),([]),([,),(,与的积分同时存在两个顺序不同连续的假设下在即.,dddd这里确切地是二次积分它们通称为累次积分求积积然后对求先对后者表示求积求积然后对先对前者表示与分别简记为.),(,),(),(),(yxyxfxyyxfbaxyxfyydcyxfxdcba四、含参量积分的可积性踌晦贸瑶习挽潞瘁佑侩搬音妈与鼻蕉奇肚铰脆锐捆人爵溪乔譬菲掌峰护帜数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分(8)dddddcbabaxyxfyydcyxfxdcbaRyxf),(),(,],[],[),(则上连续在矩形区域若函数积分换序)(19.6定理.几何意义.].,[),()(,0)()(.)()(),(),()(),()(),()(11111，命题得证取故又则，证：记bubauuIuIaIaICuIuIuIydcyufuIuaxyxfyuIydcyxfxuIdcua22222d,dddd朵感诽彻侍章董炼园霹金驰酿峭契繁廖才宗煌啊州坛泊炒枯扁芯少卓榆惕数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分).010lnabxxxxIab(d求例4.10,lndddybaxxIxxxybaxyaby故解：因.11ln111106.19,],[1abbayybayyxbaxxyIbaRxyyydddd1010可交换积分次序得故由定理上连续，在由于][.11ln)1ln()()(,abyaIbIIba积分得.10)(3.19).10ln)(yxxyIbyaxxxxyIyay11d(d得由定理令另解：落踩溜竭惋生饶豆垮浑俗研百迹诲矮疗彻斌氮褐纶阶建塔钨澄剪艺款木俊数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分小结1、了解含参量积分的概念；2、掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性、换序定理；1）掌握求含参量积分的极限、导数；2）会用含参量积分的微分（积分）换序求定积分。作业：P178,2(1),3,4(1),5(1).略扁带逼姑颗尾壮阶他京碟召惊匡汰撵玫铃查砂后烛灼冯奏缔悄困涡气芭数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分§2含参量反常积分(2)d(1)d,].,[,),()(),(,],[,],[,),(],[,),[],[),(baxcyyxfxIxIxbabaxcyyxfbaxcbaRyxf就有记为的函数上取值的则其积分值是在都收敛反常积分固定的若对每一个上定义在无界区域设函数一、一致收敛性及其判别法.,],[)1(含参量反常积分积分含参量x的无穷限反常简称为上的式为定义在称ba如同反常积分与数项级数的关系那样,含参量反常积分与函数项级数在一致收敛性问题及其论证方法上也极为相似。NkNkAAxkuxkucyyxfcyyxf11)(lim)(,lim)d,()d,(附杂庶敌漫偷扯晴开醒周肇闯寺疑束员哈互取盖咯局幕赃联爹首究镣浑嗓数学分析第十九章含参量积分数学分析第十九章含参量积分).(],[,