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第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1．1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征[学习目标]1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征．3.了解柱、锥、台的关系．1．旋转体定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．2．圆柱、圆锥、圆台的概念旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台O′O温馨提示(1)以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．(2)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．3．球的有关概念(1)定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．(2)有关概念①球心：半圆的圆心；②半径：半圆的半径；③直径：半圆的直径．温馨提示球是指球面所围成的空间几何体，而球面只是球的表面部分．4．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()(2)用平面去截圆锥，会得到一个圆锥和一个圆台．()(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．()(4)过圆台的轴截面是全等的等腰梯形．()解析：由圆柱、圆锥、圆台、球的定义与几何特征知(1)、(3)、(4)正确，(2)不正确．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列结论正确的个数是()①以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球；②空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面；③以圆的直径所在直线为旋转轴，圆面旋转形成的几何体是球；④经过球面上不同的两点只能作一个大圆．A．1B．2C．3D．4解析：球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，①错误；②正确；③正确；若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，④错误．答案：B3．给出下列命题：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确命题的序号为________．解析：①正确；圆柱有无数条母线，它们平行且相等，并且母线都与底面垂直，②和④正确；连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与底面垂直，故③错．答案：①②④4．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________(填序号)．解析：圆台可由直角梯形绕垂直于底的腰旋转一周得到，所以图①满足．答案：①5.如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝____________．解析：在Rt△OSA中，OA＝4，所以h＝SA2－OA2＝52－42＝3.答案：3类型1旋转体的结构特点(自主研析)[典例1](1)下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面(2)下列说法中正确的是()①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合．A．①②③B．②③④C．②③D．②④解析：(1)根据圆柱、圆锥、圆台的生成和几何特征，知A、B、D正确．当直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的面围成的几何体才是圆锥，绕斜边旋转形不成圆锥，因此C不正确．(2)根据球的几何特征，①错，②③正确．又与定点的距离等于定长的点的集合是球面不是球．所以④不正确，只有②③说法正确．答案：(1)C(2)C归纳升华1．判断简单旋转体的关键是准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质．2．解题时要注意两个明确：(1)明确由哪个平面图形旋转而成；(2)明确旋转轴是哪条直线．[变式训练]下列命题：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符；③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义；②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．答案：D类型2简单的组合体[典例2]观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．解：图①是由圆柱中挖去圆台形成的，图②是由球、棱柱、棱台组合而成的．归纳升华1．组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．2．用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)，进而培养学生的空间想象能力和识图能力．[变式训练]关于如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：(1)由一个长方体割去一个四棱柱构成；(2)由一个长方体与两个四棱柱组合而成；(3)由一个长方体挖去一个四棱台构成；(4)由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中正确说法的序号是________．解析：将几何体补上一个四棱柱可得一个长方体，则①正确．若将几何体分割，可得一个长方体和两个四棱柱，则②正确．答案：①②类型3旋转体的截面问题(互动探究)[典例3]一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的________(填序号)．解析：正方体的内切球与正方体的6个表面相切，因此对角面截球得圆面，且正方体的面对角线与截面圆相切，故截面图形为图②.答案：②[迁移探究1](变换条件)若将例题中条件“一个正方体内有一个内切球”改为“一个球内有一个内接正方体”，则结论如何？解：过正方体的对角面作截面，与球相交成一个圆面，与正方体交于一个矩形面，且矩形内接于圆，因此截面图形为图④.[迁移探究2](变换条件)若将例题中条件“作正方体的对角面”改为“作平行于正方体一面的平面”，则结论如何？解：“平行于正方体一面的平面”将几何体截成一个圆面和一个正方形面，且圆含于正方形内，所以截面图形应为图①.归纳升华1．对于旋转体的切、接问题，一般是作出旋转体的轴截面，使多面体的点尽可能多地落在旋转体的轴截面上．2．(1)对于旋转体内接正方体、长方体的问题，一般是过正方体或长方体的对角面作截面．(2)对于多面体内切球的问题一般是过球心作截面.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．判断旋转体，抓住定义是关键．对定义要深刻理解，分清哪条线是轴，什么图形旋转，旋转以后形成什么样的曲面，围成什么样的几何体．3．旋转体的母线旋转时形成旋转体的侧面，圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于顶点，圆台的母线延长相交于一点．4．球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．5．(1)处理组合体问题常采用分割思想．(2)重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．