初中数学分类讨论思想例题分析

分类讨论思想例题分析[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：(1)点C在线段AB上：(2)点C在线段AB的延长线上NMABCNMABC例2下列说法正确的是（）A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。C、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°）CNMAOBCNMAOB[练习]已知oAOB60,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。（1）射线OC在AOB内（2）射线OC在AOB外BAOCEDBAEDOC这两种情况下，都有ooAOB60DOE=3022ABC1C2小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC的大小不确定，但是所求的DOE与AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。[三角形中分类讨论思想的应用]一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。1、三角形的形状不定需要分类讨论例4、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且ADBDDC2·，则∠BCA的度数为_____________。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当△ABC的高在形内时，由ADBDDC2·，得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。由ADBDDC2·，得△ABD∽△CAD所以∠B＝∠CAD＝25°∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°2、等腰三角形的分类讨论：a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得,1221,921yxxx或.921,1221yxxx解得,9,6yx或.5,8yx即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A.30°B.75°C.105°D.30°或75°[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例7、已知x，y为直角三角形两边的长，满足xyy224560，则第三边的长为_____________。解析：由xyy224560，可得x240且yy2560分别解这两个方程，可得满足条件的解xy1122，或xy2223由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。当两直角边长分别为2，2时，斜边长为222222；当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5；当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。综上，第三边的长为22或5或13。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。例8、如图所示，在ABC△中，64ABACP，，是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以APQ、、为顶点的三角形和以ABC、、为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）(A)3(B)3或43(C)3或34(D)43析解：由于以APQ、、为顶点的三角形和以ABC、、为顶点的三角形有一个公共角（A），因此依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC，这样根据相似三角形的性质可得AQAPABAC，即264AQ，解得3AQ；二是过点P作APQABC，交边AB于点Q，这时APQABC，于是有AQAPACAB，即246AQ，解得43AQ.所以AQ的长为3或43，故应选(B)。四、本节小结分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。ACBP