重积分复习资料

一、问题的提出１．曲顶柱体的体积顶柱体．做曲上连续．这样的立体叫在且，这里面轴的柱面，它的顶是曲平行于线的边界曲线为准线而母是以，它的侧面面上的闭区域设有一立体，它的底是DyxfyxfzzDDxoy0),(),(≥=xzo),(yxfz=yD定义2.对二重积分(doubleintegral)定义的说明,ddd,d,,)1(yxDi=Δσσσ积元素在直角坐标系中面和中的表示积分面积元素是任意的的划分对闭区域在定义中xyoDD此时二重积分为.dd),(d),(∫∫∫∫=DDyxyxfyxfσ.,),()2(上的二重积分必定存在那么它在上连续在闭区域如果函数DDyxf二、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值。二重积分的几何意义二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方取负．xyz+−−0例1根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.，222222:,dayxDyxaD≤+−−∫∫σ34π21d3222ayxaD⋅=−−∫∫σ解投影区域为圆域，222:ayxD≤+被积函数为半球面.222yxaz−−=由二重积分的几何意义，得xyzO.π323a=性质１当为常数时，k.d),(d),(∫∫∫∫=DDyxfkyxkfσσ性质２∫∫±Dyxgyxfσd)],(),([.d),(d),(∫∫∫∫±=DDyxgyxfσσ三、二重积分的性质性质４Ω若为D的面积，.dd1∫∫∫∫=⋅=DDΩσσ性质５若在D上有),,(),(yxgyxf≤.d),(d),(∫∫∫∫≤DDyxgyxfσσ特殊地.d),(d),(∫∫∫∫≤DDyxfyxfσσ则有性质３对积分区域具有可加性.d),(d),(d),(21∫∫∫∫∫∫+=DDDyxfyxfyxfσσσ,)(21DDD+=性质６性质７（二重积分中值定理）∫∫≤≤DMyxfmσσσd),(.),(d),(σηξσ⋅=∫∫fyxfD（二重积分估值不等式）使得上至少存在一点则在的面积为上连续在如果函数　　),,(,,),(ηξσDDDyxf上则在的面积为最小值上的最大值和在是函数、设　　DDDyxfMm,,),(σ].,[)(),(,),()(:2121baCxxbxaxyxD∈≤≤≤≤ϕϕϕϕ其中函数如果积分区域)(型区域型平面区域xx特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.xyO)(1xyϕ=)(2xyϕ=Dab四、二重积分计算公式.d),(dd),()()(21∫∫∫∫=xxbaDyyxfxσyxfϕϕ则},),()(),{(:21bxaxyxyxD≤≤≤≤=ϕϕ若积分区域情况一xyO)(1xyϕ=)(2xyϕ=Dab].,[)(),(,),()(:2121dcCyydycyxyD∈≤≤≤≤ψψψψ其中函数如果积分区域)(型区域型平面区域yy特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.xyO)(1yxψ=)(2yxψ=DcdxyO)(1yxψ=)(2yxψ=Dcd},),()(),{(21dycyxyyxD≤≤≤≤=ψψ若积分区域情况二：.d),(dd),()()(21∫∫∫∫=yydcDxyxfyyxfψψσ则xyOⅠⅡⅢ.d),(d),(,321σσyxfyxfyxDDDDD⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∫∫∫∫∫∫∫∫则型区域型区域又不是既不是若积分区域情况三：若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式.d),(dd),(d202120102的次序改变积分∫∫∫∫−−+xxxyyxfxyyxfx积分区域如图.d),(d211102∫∫−−−=yyxyxfy原式xy−=222xxy−=例2解.10,2112≤≤−≤≤−−−yyxyY型积分区域为典型例题例4.2,d2所围成的闭区域及是由抛物线其中计算−==∫∫xyxyDσxyD解yxxyxyyyDd]d[d2122∫∫∫∫−+=σyyxyyd]2[22122+−∫=2162346234421−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=yyyyyyyyd])2([215212−+=∫−.855=12345-2-1123.)1,0(),1,1(),0,0(,dde22顶点的三角形区域为是以其中求DyxxDy∫∫−∫∫∫∫−−=yyDyxxyyxx02102deddde22yyyd3e1032∫⋅=−2102d6e2yyy∫⋅=−,de2无法用初等函数表示注意到∫−yy.序所以积分时必须考虑次例5解).e21(61−=使用对称性时应注意：1.积分区域关于坐标轴的对称性；2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.五、利用对称性简化二重积分的计算.dd),(),(),(∫∫=∈DyxyxfIDCyxf计算设二重积分计算的简化..1轴对称关于yD.0,),(),,(),()1(=−=−Ixyxfyxfyxf是奇函数时关于即}.0),{(,dd),(2,),(),,(),()2(11≥∈===−∫∫xDyxDyxyxfIxyxfyxfyxfD是偶函数时关于即..2轴对称关于xD.0,),(),()1(=−=−Iyxfyxf时}.0),{(,dd),(2,),(),()2(22≥∈===−∫∫yDyxDyxyxfIyxfyxfD时.dd),(),(),(∫∫=∈DyxyxfIDCyxf计算设二重积分计算的简化.dd),(),(),(∫∫=∈DyxyxfIDCyxf计算设二重积分计算的简化..3关于原点对称D.0,),(),()1(=−=−−Iyxfyxf时.dd),(2dd),(2,),(),()2(21∫∫∫∫===−−DDyxyxfyxyxfIyxfyxf时}.,|),({,de},max{2222bybaxayxDσIDyaxb≤≤−≤≤−==∫∫其中计算,dde4},max{2222∫∫′=DyaxbyxI故,,,,轴均对称轴关于域且积分区均为偶函数由于被积函数关于xyDyx例6解}0,0|),{(byaxyxD≤≤≤≤=′其中},0,0|),{(1xabyaxyxD≤≤≤≤=若记,1上则在D},0,0|),{(2ybaxbyyxD≤≤≤≤=,2上在D⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=∫∫∫∫222122ddedde4DyaDxbyxyxI于是,},max{222222xbyaxb=222222max{,},bxayay=ab1D2DOxaby=xyyxDxbdde122∫∫而∫∫=abxyxxba00ded22xxabaxbde022∫=),1e(2122−=baabyxDyadde222∫∫∫∫=bayxyyab00ded22yybabyade022∫=),1e(2122−=baab).1e(422−=baabI从而得⎩⎨⎧==θρθρsincosyxθρρdddd=yx二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式∫∫∫∫=DDfyxyxfθρρθρθρdd)sin,cos(dd),(Oρρρρd+θθθd+ρdθρdθρρσddd=　极坐标系中的面积元素七、二重积分的极坐标计算公式适用范围;,,)1(极坐标计算可考虑用圆环或扇形区域时为圆域、通常简单程表示比较的边界曲线用极坐标方积分区域DD.,)2(22标计算式时可以考虑使用极坐的因通常当被积函数中含有并易于积分函数表达式可以简化被积函数使用极坐标后yx+二重积分化为累次积分几种常见的情形ρOαβD)(1θρρ=)(2θρρ=.),()(:21βθαθρρθρ≤≤≤≤D情况一：∫∫Dfθρρθρθρdd)sin,cos(ρOαβ)(1θρρ=)(2θρρ=D;d)sin,cos(d)()(21∫∫=βαθρθρρρθρθρθf（注：极点在积分区域外）.),(0:βθαθρρ≤≤≤≤D情况二：ρOαDβ)(θρρ=二重积分化为二次积分几种常见的情形∫∫Dfθρρθρθρdd)sin,cos(;d)sin,cos(d)(0∫∫=βαθρρρθρθρθf（注：极点在积分区域边界上）.π20),(0:≤≤≤≤θθρρD情况三：ρO)(θρρ=D.dd,∫∫=DSDθρρ的面积区域以上各种情形二重积分化为二次积分几种常见的情形∫∫Dfθρρθρθρdd)sin,cos(;d)sin,cos(dπ20)(0∫∫=θρρρθρθρθf（注：极点在积分区域内）.,,dde22222ayxaDyxDyx≤+∫∫−−的圆域为半径是中心在原点其中计算解∫∫∫∫−−−=aDyxyx0π20deddde222ρρθρ).e1(π2a−−=.π20,0:≤≤≤≤θρaD典型例题例7.03,03,4,2:,dd)(222222所围成的平面区域计算=−=−=+=++∫∫xyyxyyxyyxDyxyxD边界曲线的极坐标方程θρsin2222=⇒=+yyxθρsin4422=⇒=+yyx6π03=⇒=−θyx3π03=⇒=−θxy=+∫∫Dyxyxdd)(22解=⋅∫∫θθρρρθsin4sin223π6πdd).32π(15−例8.41:,dd)πsin(222222≤+≤++∫∫yxDyxyxyxD求解∫∫∫∫++=++1dd)πsin(4dd)πsin(22222222DDyxyxyxyxyxyxρρρρθdπsind4212π0∫∫=1D.4−=积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.例9记作上的三重积分在闭区域则称极限值为时和式的极限存在如果域直径中的最大值为记各小闭区并作和作出乘积对于的体积表示为划分　　定义　设,),,(,0,,),,(,),,(,),,(,,,,),(),,(11ΩzyxfvfvfΩΩvΩΩΩΩBzyxfniiiiiiiiiiiiiiin→ΔΔΔ∈∀ΔΔΔΔ∈∑=λλζηξζηξζηξ.),,(limd),,(10∑∫∫∫=→Δ=niiiiiΩvfvzyxfζηξλ　九、三重积分的定义.),,(limd),,(10∑∫∫∫=→Δ=niiiiiΩvfvzyxfζηξλ　.ddd),,(,dddd,,dzyxzyxfzyxvvvΩi∫∫∫=Δ从而三重积分记为中的体积元素三重积分在直角坐标系下表示　　体积元素.,),,(上的三重积分必定存在那么它在上连续在闭区域　　如果函数ΩΩzyxf十、三重积分(tripleintegral)的物理意义即体的质量时该和的极限就是该物当的近似值是该物体质量则上连续在闭区域是该物体所占有的空间处的体密度表示某物体在点　　如果,0,),,(,),,(,,),,(),,(1MMvfΩzyxfΩzyxzyxfniiiii→Δ∑=λζηξ.d),,(vzyxfMΩ∫∫∫=性质１当为常数时，k.d),,(d),,(∫∫∫∫∫∫=ΩΩvzyxfkvzyxkf性质２∫∫∫±Ωvzyxgzyxfd)],,(),,([.d),,(d),,(∫∫∫∫∫∫±=ΩΩvzyxgvzyxf（三重积分与二重积分有类似的性质）十一、三重积分的性质性质３对区域具有可加性.d),,(d),,(d),,(21∫∫∫∫∫∫∫∫∫+=ΩΩΩvzyxfvzyxfvzyxf性质４.d1∫∫∫⋅=ΩvV则性质５),,,(),,(,zyxgzyxfΩ≤上如果在.d),,(d),,(∫∫∫∫∫∫≤ΩΩvzyxgvzyxf特殊地.d),,(d),,(∫∫∫∫∫∫≤ΩΩvzyxfvzyxf)(21ΩΩΩ+=则有,的体积是如果ΩV性质６性质７（三重积分中值定理）.d),,(MVvzyxfmVΩ≤≤∫∫∫.),,(d),,(VfvzyxfΩ⋅=∫∫∫ςηξ（三重积分估值不等式）使得上至少存在一点则在的体积为上连续在如果函数　　),,,(,,),,(ςηξΩΩVΩzyxf上则在的体积为和最小值上的最大值在是函数、设　　ΩΩVΩzyxfMm,,),,(三重积分在直角坐标系下的计算一、坐标面投影法二、坐标轴投影法(截面法)三、利用对称性简化三重积分的计算.,xyDxOyΩ得投影区域平面投影向将积分区域}),(,),(),(),,{(21xyDyxyxzzy