第一型曲面积分

上一页下一页主页返回退出教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式．(1)基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．(2)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．上一页下一页主页返回退出第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算上一页下一页主页返回退出设曲面形物体S具有连续的面密度函数类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想,niiiiiTSM10||||),,(lim求其质量M.采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，可得一、第一型曲面积分的概念上一页下一页主页返回退出定义1设S为可求面积的曲面,为定义在S上的函数.对曲面S作分割T，将S分成n个小曲面块Si(i=1,2,...,n)，Si的面积记为在Si任取一点若极限niiiiiTSf10||||),,(lim存在，则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记作上一页下一页主页返回退出SSzyxMd),,(于是,曲面形物体S的质量为第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质类似，例如.d的面积SSS上一页下一页主页返回退出定理22.1设有光滑曲面f(x,y,z)在S上连续,xyDyxf),,(),(yxz则二、第一型曲面积分的计算xyzO上一页下一页主页返回退出证明:由定义知nk10limyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(122而上一页下一页主页返回退出yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),,(22)),(,,(kkkkzf)),(,,(kkkkzfSzyxfd),,((光滑)上一页下一页主页返回退出说明:zyDzyzyxx),(),,(zxDzxzxyy),(),,(则有公式：1)如果曲面方程为yzDzyf),,(),(zyx如果曲面方程为则有公式：xzDzxf),,(),(zxy上一页下一页主页返回退出2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.上一页下一页主页返回退出yxD例1.计算曲面积分其中S是球面被平面截出的顶部.解2222:hayxDyx221yxzzSzSd20da0)ln(2122222haraayxDyxayxa222dd22022dhararroxzySha上一页下一页主页返回退出例计算曲面积分其中S为立体的边界曲面.解设上一页下一页主页返回退出所以上一页下一页主页返回退出例计算其中S为右半球面例计算其中S为上一页下一页主页返回退出例.求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标,0yx而用球坐标cosRzddsind2RS20032dcossindR2002dsindR上一页下一页主页返回退出例.计算.:2222Rzyx解:取球面坐标系,则0cos)cosd(2RRR02dcossinRR20d上一页下一页主页返回退出zzd例.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则HzRzRI022d2RHarctan2oHxyz解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.上一页下一页主页返回退出内容小结1.定义:2.计算:设则niiiiiTSSfszyxf10||||),,(limd),,(xyDyxf),,(),(yxz