数值分析考点整理

数值分析知识点1数值分析笔记整理电子科技大学电子工程学院：黄健辉在MATLAB中各种运算符的优先级顺序：'(矩阵转置)、^(矩阵幂)和.'(数组转置)、.^(数组幂)~(逻辑非)*(乘)、/(左除)、\(右除)和.*(点乘)、./(点左除)、.\(点右除)+、-(加减):(冒号)、=、、=、~=&(逻辑与)|(逻辑或)变量名必须以字母开头，变量名的组成可以是任意字母、数字或者下划线，但不能含有空格和标点符号(如，。%等)。例如，“6ABC”、“AB%C”都是不合法的变量名。关键字(如if、while等)不能作为变量名。Attention:syms与sym的区别：symsxyz(对)，但是symxyz(错）A=sym('[a,b;c,d]')(对），但A=syms('[a,b;c,d]')(错）1.舍入误差：机器字长有限，是算法误差的主要来源之一由计算机性能和算法过程所决定。2.截断误差(方法误差)——求近似解引起用数值法求解数学模型不能得到精确解时，往往用简单代替复杂，或用有限过程代替无限过程所引起的误差。——是数值算法设计中主要考虑的误差。总之，两种误差的来源不同，处理方式也不尽相同。截断误差由建立的模型完全决定，应结合具体算法进行分析；而舍入误差主要由计算机性能及算法过程所决定。定义：若近似值x’的误差限是某一位的半数值分析知识点2个单位，该位向左数到x’的第一位非零数字共n位，则称x’有n位有效数字。关于有效数字的推论——与绝对误差、相对误差的关系1.推论1:对于给出的一个n位有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。已知325413.0,325413*2*1XX都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知,n=6数值分析知识点35.01021,0,6,10325413.0016*1绝对误差限nkkX2分620*21021,6,0,10325413.0绝对误差限nkkX2分2.要使17的近近似似值值的相对误差限0.1%,应至少取_________位有效数字？17＝0.4…10,a1=4,r121a10-(n-1)0.1%,故可取n3.097,即4位有效数字。数值分析知识点4数值算法设计主要是处理好计算精度和计算速度问题a.避免相近二数相减（易减小有效数字）b.避免小分母:分母小会造成浮点溢出c.避免大数吃小数.在浮点运算中，要对阶操作，可能造成小数有效数字溢出，影响结果。d.简化计算步骤，减少运算次数(运算量)，避免误差积累。e.选用稳定的算法2.高斯消元法——（由消元过程和回代过程构成了高斯消元法。）解线性方程组几种数值解法：数值分析知识点5若．A．的所有顺序主子式．．．．．．．．均不为．．．0．，则高斯消元无需换行即可进行到．．．．．．．．．．．．．．．底，得到唯一解。．．．．．．．．事实上，只要A非奇异，即A逆存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。3.矩阵分解法(1).在方阵A的LU分解中,方阵A的所有顺序主子不为零,是方阵A能进行LU分解的充分条件；严格行对角占优阵数值分析知识点6能进行LU分解；非奇异矩阵不一定能进行LU分解。(2).设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解唯一L——单位下三角矩阵U——上三角矩阵数值分析知识点7数值分析知识点84.向量范数和矩阵范数本章节只要理解范数的基本定义并会计算三种范数及谱半径就行了！数值分析知识点9数值分析知识点105.迭代法数值分析知识点11数值分析知识点12或者：数值分析知识点13数值分析知识点14求解迭代矩阵除了可以用雅可比，高斯——赛德尔矩阵计算公式外，还可以利用定义进行巧妙的运算得出！计算雅可比迭代矩阵和高斯赛德尔迭代矩阵的谱半径-------即迭代矩阵特征值绝对值中最大的一个，如果有特征值为复数，就取该复数的模，然后再进行大小比较！数值分析知识点15数值分析知识点16注释：严格对角占优阵通俗来讲就是每一行对角元素的绝对值都大于同行其他元素绝对值的和！对于对称矩阵，它的谱半径就是该对称矩阵的2—范数数值分析知识点176.方程组的病态问题与误差分析数值分析知识点18数值分析知识点19数值分析知识点20数值分析知识点217.插值法与曲线拟合数值分析知识点22差异：插值函数必须经过插值点，拟合函数不必经过拟合点最常用的插值函数是：多项式函数nX结论：通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。性质:拉格朗日多项式插值在本插值点值为1，其它插值点值为0。用1n+个作不超过n次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式相等二次插值的基函数：构造三个插值基函数，使其满足：（1）基函数为二次多项式。（2）函数值满足：数值分析知识点23数值分析知识点24设lk(x)是关于互异节点x0,x1,…,xn,的Lagrange插值基函数，则nkkmkxlxx0)()(0m=1,2,…,n数值分析知识点25数值分析知识点26##内插通常优于外插。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。##多项式插值的Runge现象详见张晓玲PDF第33页！Runge现象：等距节点高次插值所产生的小区间内逼近很差的现象为了提高光滑性，讨论新的插值方法数值分析知识点27——根据上面的条件来确定2n+2个系数，显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。数值分析知识点28数值分析知识点29详细推导见张晓玲课件48～53页ix12iy23iy1-1的艾尔米特差值多项式.解：令10x，21x，代入艾尔米特差值多项式121112101102000201003)()()(]1)(21[)()()(]1)(21[)(yxlxxyxlxxxxyxlxxyxlxxxxxH（2分）这里1010)(xxxxxl，0101)(xxxxxl，得5982)(233xxxxH（3分）数值分析知识点30方法一：方法二：数值分析知识点31数值分析知识点32数学定义：三次样条函数是由分段三次曲线连接而成，且二阶导数连续的函数。数值分析知识点33(2)求解三转角方程：定出mj(3)用（20）（21）进行插值计算:曲线拟合放松了逼近函数必须经过观测点的要求，而求一函数，使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。数值分析知识点34函数逼近：采用最佳逼近离散数据：采用最小二乘逼近在函函数数的最佳一致逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的||f||范数,在函数的最佳平方逼近问题中,评价逼近程度的指标用的是函数的2-范数求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2xP，并求出平方误差（8分）解：令22102)(xaxaaxP2分取m=1,n=x,k=2x,计算得：(m,m)=dx111=0(m,n)=dxx11=1(m,k)=dxx112=0(n,k)=dxx113=0.5(k,k)=dxx114=0(m,y)=dxx11=1数值分析知识点35(n,y)=dxx112=0(k,y)=dxx113=0.5得方程组：5.05.005.011201aaaa3分解之得caaca2,1,210（c为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cxxcxP1分平方误差：32),(202222222iiiyafpf2分判断题：1.最小二乘法拟合中得到的线性方程组总是数值稳定的（X）2.互异的插值节点越多，使用Lagrange插值的结果误差就越小（X）3.三次样条插值具有二阶光滑性.（√）数值分析知识点36采用正正交交多多项项式式拟拟合合可可避避免免最最小小二二乘乘或或最最佳佳平平方方逼逼近近中中常常见见的的_法方程组病态___问问题题。。8.数值积分显然，由于龙格现象，不稳定性越大,积分误差可能增加。数值分析知识点37)()(0xlxfinii数值分析知识点38nillliixxxx!,0数值分析知识点392n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度2n+1阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度牛顿——柯特斯系数取决于积分区间等分数数值分析知识点40Gauss型求积公式不是插值型求积公式(1).n个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n－1次。(2).Gauss点与积分区间____无关_____但与被积函数___有关。数值分析知识点41牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是:牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。数值分析知识点42Simpsons数值求积公式具有____3_________次代数精度，用于计算dxxxx)45.02)2(ln(2104所产生的误差值为_____1201________；形如bankkkxfAdxxf0)()(的插值型求积公式，其代数精度至少可达到______n____阶，至多可达到__2n+1________阶；若用复化梯形求积公式计算积分10xIedx区间[0,1]应分2129等分，即要计算个2130点的函数值才能使截断误差不超过71102；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12等分，即要计算个25点的函数值。数值分析知识点43数值分析知识点44数值分析知识点45用复合梯形公式，复合Simpson公式计算10214dxx的近似值（保留小数点后三位）)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618fffffffffT=3.139)}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414fffffffffS=3.142数值分析知识点46计算积分20sinxdxI，若用复合Simpson公式要使误差不超过51021，问区间]2,0[要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[应分为多少等分?1.由Simpson公式余项及得取n=6，即区间]2,0[分为12等分可使误差不超过510212.对梯形公式取n=255，即区间]2,0[分为510等分可使误差不超过51021数值分析知识点479.称微分方程的某种数值解法为p阶方法指的是其局部截断误差为O(hp+1)。数值分析知识点48注意：这是“折线法”而非“切线法”除第一个点是曲线切线外，其他点不是！数值分析知识点49数值分析知识点50