常微分方程及其应用

第5章常微分方程及其应用习题5.21．求下列各微分方程的通解：（1）02ydydxx；（2）0lnyyyx；（3）0)()(22dyyxydxxxy；（4）03xyy；（5）xeyy2；（6）xxyycostan．2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）yxey2，0)0(y；（2）011dyxydxyx，1)0(y；（3）xyycos，0)0(y；（4）xxyysectan，0)0(y；（5）xxxyysin，1)(y；（6）0122dxxxydyx，0)1(y．5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入求微分方程xy6的通解．解两边积分，得1236Cxxdxy两边再积分，得213123CxCxdxCxy所以，原方程的通解为213CxCxy，其中21CC、为任意常数．5.3.1可降阶微分方程1.形如)()(xfyn的微分方程特点：方程右端为已知函数)(xf．解法：对)()(xfyn连续积分n次，即可得含有n个任意常数的通解．2.形如),(yxfy的微分方程特点：方程右端不显含未知函数y．解法：令)(xpy，则)(xpy．于是，原方程可化为),(pxfp．这是关于pp,的一阶微分方程．设其通解为),()(1Cxxp，即),(1Cxy．两边积分，即可得原方程通解21),(CdxCxy，其中21CC、为任意常数．3.形如),(yyfy的微分方程特点：方程右端不显含自变量x．解法：令)(ypy，则dydppdydpydxdydydpy．于是，原方程可化为),(pyfpp．这是关于pp,的一阶微分方程．设其通解为),()(1Cyyp，即),(1Cydxdy．分离变量，得dxCydy),(1．然后两边积分，即可得原方程通解21),(CxCydy，其中21CC、为任意常数．例5-7求微分方程xxycossin的通解．解两边积分，得12sincos)cos(sinCxxdxxxy两边再积分，得2112cossin2sincosCxCxxdxCxxy第三次积分，得322121sincos2cossinCxCxCxxdxCxCxxy所以，原方程的通解为3221sincosCxCxCxxy，其中321CCC、、为常数．例5-8求微分方程0yyx的通解．解令)(xpy，则)(xpy．原方程可化为0ppx，即01pxp．这是关于pp,的一阶线性齐次微分方程．其通解为：xCeCeCxpxdxx1ln111222)(，即xCy12．两边积分，即得原方程通解22112CxCdxxCy，其中21CC、为任意常数．例5-9求微分方程xxeyxy1的通解．解令)(xpy，则)(xpy．于是，原方程可化为xxepxp1．这是关于pp,的一阶线性非齐次微分方程．其通解为1112)(Cdxexeexpdxxxdxx1lnln2Cdxexeexxx12Cdxexx12Cexx即12Cexyx．两边积分，即得原方程通解dxxCxedxCexyxx112221xCexdx21xCdxexexx221)1(CxCexx其中21CC、为任意常数．例5-10求微分方程02yyy的通解．解令)(ypy，则)(yppy．于是，原方程可化为02ppyp，即01pyp．这是关于pp,的一阶线性齐次微分方程．其通解为yCeCeCypydyy1ln111)(，即yCy1．所以原方程通解为xCdxCeCeCy1122，其中21CC、为任意常数．5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程定义5.4形如常数0为、，qpqyypy（5-5）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程．1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1如果函数)(1xy和)(2xy是方程（5-5）的两个解，那么为任意常数)()(212211CCxyCxyCy、，（5-6）也是方程（5-5）的解．（证明略）定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性．那么叠加起来的解)()(2211xyCxyCy就是通解吗？不一定．例如，设函数)(1xy是方程（5-5）的一个解，则函数)(2)(12xyxy也是方程（5-5）的一个解．由定理5.1可知，)()2()(2)(1211211xyCCxyCxyCy是方程（5-5）的解．但CCC212仍是一个任意常数，所以)()()2(1121xCyxyCCy不是方程（5-5）的通解．那么在什么条件下才能保证)()(2211xyCxyCy就是通解呢？定义5.5设)(1xy和)(2xy是定义在某区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数1k和2k，使0)()(2211xykxyk在区间I上恒成立，则称函数)(1xy与)(2xy在区间I上线性相关，否则称线性无关．由定义5.5可知，判断函数)(1xy与)(2xy线性相关或线性无关的方法：当2112)()(kkxyxy常数时，)(1xy与)(2xy线性相关．当)()(12xyxy常数时，)(1xy与)(2xy线性无关．定理5.2如果函数)(1xy和)(2xy是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解．（证明略）2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程（5-5）的两个线性无关的特解．猜想方程（5-5）有形如rxey的解，其中r为待定常数．将rxey代入该方程，得0)()()()(22rxrxrxrxrxrxrxeqprrqepreereqepe，由于0rxe，所以只要r满足方程为常数、，qpqprr02（5-7）即当r是方程（5-7）的根时，函数rxey就是方程（5-5）的解．定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程．特征方程的根称为特征根．设21rr、为特征方程（5-7）的两个特征根．根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况：（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根21rr，则xrey11和xrey22是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为xrxreCeCy2121，其中21CC、为任意常数．（2）若方程（5-7）有两个相等实根221prrr，则仅得到一个特解rxey1，利用常数变易法可得到与rxey1线性无关的另一个特解rxxey2，故方程（5-5）的通解为xrxrxeCeCy21，其中21CC、为任意常数．（3）若方程（5-7）有一对共轭复根ir1与ir2，则xiey)(1和xiey)(2是方程（5-5）的两个复数特解．为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解xexcos和xexsin．故方程（5-5）的通解为)sincos(21xCxCeyx，其中21CC、为任意常数．由定理5.1可知，以上两个函数xexcos和xexsin均为方程（5-5）的解，且它们线性无关．上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，称为特征根法．一般步骤：第一步写出所给微分方程的特征方程；第二步求出特征根；第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解．（特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1特征根与通解的关系特征方程02qprr的两个根21rr，微分方程0qyypy的通解一两个不相等实根21rrxrxreCeCy2121二两个相等实根221prrrxrexCCy)(21三一对共轭复根ir1，ir2)sincos(21xCxCeyx例5-11求微分方程032yyy的通解．解该方程的特征方程0322rr的特征根为11r，32r（21rr）．所以，方程的通解为xxeCeCy321．例5-12求微分方程02yyy满足初始条件0)0(y，1)0(y的特解．解该方程的特征方程0122rr的特征根为121rr．所以方程的通解为xexCCy)(21上式对x求导，得：xxexCCeCy)(212将0)0(y，1)0(y代入上两式，解得01C，12C．因此，所求特解为xxey．例5-13求微分方程052yyy的通解．解该方程的特征方程0522rr的特征根为ir211，ir212．所以，方程的通解为)2sin2cos(21xCxCeyx．5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7形如常数)(为、，qpxfqyypy（5-8）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理5.3如果函数)(xy是方程（5-8）的一个特解，)(xY是该方程所对应的线性齐次方程（5-5）的通解，那么)()(xyxYy（5-9）是方程（5-8）的通解．定理5.4如果函数)(1xy是方程)(1xfqyypy的特解，函数)(2xy是方程)(2xfqyypy的特解，那么)()(21xyxyy（5-10）就是方程)()(21xfxfqyypy的特解．2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理5.3，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解．以下介绍当自由项)(xf为几类特殊函数时求特解的方法：（1）xnexPxf)()(，)(xPn是x的n次多项式，是常数微分方程的特解可设为2,1,0,)(kkkexQxyxnk是二重特征根时是单特征根时不是特征根时，其中)(xQn是与)(xPn同次待定多项式．（2）xxPxfncos)()(（或xxPnsin)(），)(xPn是x的n次多项式，是常数微分方程的特解可设为10]sin)(cos)([kikixxRxxQxynnk是特征根时，非特征根时，，其中)(xQn和)(xRn是与)(xPn同次待定多项式．（3）xexfxcos)(（或xexsin），与均为常数微分方程的特解可设为10]sincos[kikixBxAexyxk是特征根时，非特征根时，，（4）当)(xf为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可．例5-14求微分方程132xyy的通解．解方程02yy的特征方程022rr的特征根为21r，02r．于是方程02yy的通解为221CeCyx又因为13)(xxPn，0是单特征根，所以原方程的特解可设为)()(BAxxxxQyn代入原方程，解得43A，45B．故原方程的通解为xxCeCyx45432221．例5-15求微分方程xeyyy23的一个特解．解方程0yyy的特征方程012rr的特征根为ir23211，ir23212．xexf23)(，2非特征根，所以原方程的特解可设为xAey2代入原方程，解得73A．故所求特解为xey273．例5-1