2019年全国统一高考数学试卷文科Ⅱ

第1页，共15页2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=i（2+i），则𝑧−=（）A.1+2𝑖B.−1+2𝑖C.1−2𝑖D.−1−2𝑖2.已知向量𝑎⃗⃗=(2，3)，𝑏⃗=(3，2)，则|𝑎⃗⃗-𝑏⃗|=A.√2B.2C.5√2D.503.已知集合A={x|x＞-1}，B={x|x＜2}，则A∩B=（）A.(−1,+∞)B.(−∞,2)C.(−1,2)D.⌀4.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙5.曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为（）A.𝑥−𝑦−𝜋−1=0B.2𝑥−𝑦−2𝜋−1=0C.2𝑥+𝑦−2𝜋+1=0D.𝑥+𝑦−𝜋+1=06.若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1的一个焦点，则p=（）A.2B.3C.4D.87.设F为双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A.√2B.√3C.2D.√58.已知α∈(0，𝜋2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）A.15B.√55C.√33D.2√559.设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）=ex-1，则当x＜0时，f（x）=（）A.𝑒−𝑥−1B.𝑒−𝑥+1C.−𝑒−𝑥−1D.−𝑒−𝑥+110.若x1=𝜋4，x2=3𝜋4是函数f（x）=sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω=（）A.2B.32C.1D.1211.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A.𝛼内有无数条直线与𝛽平行B.𝛼内有两条相交直线与𝛽平行C.𝛼，𝛽平行于同一条直线D.𝛼，𝛽垂直于同一平面第2页，共15页12.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A.23B.35C.25D.15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件{2𝑥+3𝑦−6≥0，𝑥+𝑦−3≤0，𝑦−2≤0，则z=3x-y的最大值是______．14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.16.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和．18.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积．第3页，共15页19.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)ln𝑥−𝑥−1．证明：（1）𝑓(𝑥)存在唯一的极值点；（2）𝑓(𝑥)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．20.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[-0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：√74≈8.602．21.已知F1，F2是椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．第4页，共15页22.在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当θ0=𝜋3时，求ρ0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．23.已知f（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）．（1）当a=1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（-∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．第5页，共15页答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=i（2+i）=-1+2i，∴=-1-2i，故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（2，3），=（3，2），∴=（2，3）-（3，2）=（-1，1），∴||=．故选：A．利用向量的坐标减法运算求得的坐标，再由向量模的公式求解．本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及其运算，是基础题，直接利用交集运算得答案．【解答】解：由A={x|x＞-1}，B={x|x＜2}，得A∩B={x|x＞-1}∩{x|x＜2}=（-1，2），故选C．4.【答案】A【解析】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．第6页，共15页如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲不正确，∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲＞乙，乙＞丙．故选：A．本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾．从而得出正确结果．本题属基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题.求出原函数的导函数，得到函数在x=π时的导数，再由直线方程点斜式得答案．【解答】解：由y=2sinx+cosx，得y′=2cosx-sinx，∴y′|x=π=2cosπ-sinπ=-2，∴曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为y+1=-2（x-π），即2x+y-2π+1=0．故选：C．第7页，共15页6.【答案】D【解析】解：由题意可得：3p-p=（）2，解得p=8．故选：D．根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，由题意，把x=代入x2+y2=a2，得PQ=，再由|PQ|=|OF|，得，即2a2=c2，∴，解得e=．故选：A．由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|=|OF|列式求C的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.【答案】B【解析】解：∵2sin2α=cos2α+1，∴可得：4sinαcosα=2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα=2sinα，∵sin2α+cos2α=sin2α+（2sinα）2=5sin2α=1，∴解得：sinα=．故选：B．第8页，共15页由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα=2cos2α，结合角的范围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα=2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα的值．本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的解析式的求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题．设x＜0，则-x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f(x).【解答】解：设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=e-x-1，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=－f（-x）＝-e-x+1．故选：D．10.【答案】A【解析】解：∵x1=，x2=是函数f（x）=sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，∴T=2（）==∴ω=2，故选：A．x1=，x2=是f（x）两个相邻的极值点，则周期T=2（）=，然后根据周期公式即可求出．本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．第9页，共15页由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论.【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α∥β．故选B．12.【答案】B【解析】解：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．∴p==．故选：B．本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为．即可得出概率．本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．13.【答案】9【解析】第10页，共15页解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z=3x-y为y=3x-z，由图可知，当直线y=3x-z过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】0.98【解析】【分析】利用加权平均数公式直接求解．本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：=（10×0.97+20×0.98+10×0.99）=0.98．故答案为：0.98．第11页，共15页15.【答案】26；√2-1【解析】【分析】本题考查了几何体的内接多面体，属中档题．中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的倍等于正方体的棱长．【解答】解：该半正多