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疑难问题1．对立事件与互斥事件有何联系与区别？答它们的联系与区别是：（１）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立．（２）互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．（３）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生，而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生．2．条件概率(|)PBA与积事件()PAB的概率有何区别？答()PAB表示在样本空间S中，计算AB发生的概率，而(|)PBA表示在缩减的样本空间AS中，计算B发生的概率．用古典概率公式，则(|)PBA＝AB中基本事件数/AS中基本事件数；()PABAB中基本事件数/S中基本事件数．一般说，(|)PBA比()PAB大．3．两事件互相独立与两事件互斥这两个概念有何联系？答没有必然的联系．我们说两个事件,AB相互独立，其实质是事件A发生与否不影响事件B发生的概率．而说,AB互斥，则是指A的发生必然导致B不发生，或者B的发生必然导致A不发生，即AB．这就是说事件A的发生对事件B发生的概率有影响．在()0,()0PAPB的大前提下，若,AB互斥，则()0()()PABPAPB，因此,AB不独立；若,AB独立，则()()()0PABPAPB，从而AB,,AB不互斥.4．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？答全概率公式是应用广泛的一个公式，它把复杂事件A的概率分成几个比较容易计算的概率之和，形似繁琐，实则简单．在分析问题过程中，可以把iB看成A发生的原因，A是结果．而()iPB及(|)iPAB较易求得的，于是可由＂原因＂求＂结果＂．贝叶斯公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率．是在已知结果发生的情况下，求导致结果的某种原因的可能性大小．比如求1(|)PBA，当()PA（常用全概公式计算），1()PB，1(|)PAB较易求得时，就要用贝叶斯公式，它是由“结果”求“原因”．5．后验概率与先验概率有何区别?答贝叶斯公式中，已知事件iB的概率()iPB称为“先验概率”它是试验前根据以往经验确定的一种假设概率．现在进行了一次试验，如果事件A确实发生了，则对于事件iB的概率应予以重新估计，也就是在事件A发生之后，再来判断事件iB发生的概率，称之为“后验概率”．由于后验概率的计算仍以先验概率为基础，所以两者有一定的联系（一般比较接近）．但后验概率是在实验之后事件A确已发生的情况下，来分析引发它的各种原因iB的概率，因而一般来讲，有利于A发生的那些原因的概率就会增大，而不利于A发生的那些原因的概率就会减小．6．什么是实际推断原理？它有什么作用？为什么说在大量的独立重复试验中，小概率事件迟早会发生？答概率很小的事件称小概率事件．在实践中，人们总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是不会发生的”这一经验，并称之为“实际推断原理”．根据实际推断原理，如果小概率事件在一次实验中竟然发生了，我们就有理由怀疑该事件是小概率事件的正确性．设一次试验中事件A的概率为(01)pp（小概率），则n次独立重复试验中事件A至少发生一次的概率为1(1)nnPp，当n时1np．这就说明，随着试验次数的增多，小概率事件A迟早会发生的概率为1。