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疑难问题1．为什么要引入随机变量？答概率统计是从数量上来研究随机现象统计规律的，为了便于数学上的推导与计算，必须把随机事件数量化，我们在进行某种试验和观测时，由于随机因素的影响，使试验出现各种不同结果，因而用来描述随机事件的量也随着以偶然的方式取不同的值，当把一个随机试验的不同结果用一个变量来表示时，便得到了随机变量的概念．引入随机变量后，使我们有可能利用数学分析的方法来研究随机试验．随机变量是研究随机试验的有效工具．2．随机变量作为实值单值函数与普通函数有什么区别?答1)随机变量的取值具有随机性，它随试验结果的出现的不同而取不同的值，试验之前仅知道它可能取值的范围，而不能预知它取什么样的值．2)随机变量的取值具有统计规律性．由于试验结果的出现有一定的概率，因而随机变量取各个值也有一定的概率．3)随机变量是定义在样本空间S上的函数，S中的元素不一定是实数，而普通函数只是定义在实数轴上．3．为什么说连续型随机变量的()fxdx与离散型随机变量的kp在概率论中起着相同的作用？答因为，{}kkpPXx表示X取某一值的概率，而对于连续型随机变量X，().xdxxPxXxdxfxdx当dx充分小时，()()xdxxfxdxfxdx，故()fxdx可以看成随机变量X落在小区间(,]xxdx上的概率，称之为离散化，由此可见()fxdx与kp起着同样的作用，都描述了随机变量的分布情况．4．连续型随机变量X的概率密度()fx是否一定是连续函数?它的概率密度是否唯一?答()fx不一定是连续函数．例如X在(,)ab上服从均匀分布，其概率密度()fx在xa和xb处不连续．X的概率密度()fx不是唯一的，例如均匀分布的概率密度可以写成1,()0,axbfxba其他或1,()0,axbfxba其他，不影响其性质.5．随机变量的分布函数()Fx右连续是什么意思?在什么条件下()Fx连续?答()Fx右连续是指它在任意的x处的右极限存在且等于改点处的值()Fx，即(0)()FxFx．当随机变量X是连续型时，()Fx是连续的，而且是绝对连续的，即它可以表示为一个定积分的形式.6．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布?答正态分布有极其广泛的实际背景．例如测量的误差，炮弹的弹落点的分布，人体生理特征的数量指标(身高、体重等)，产品的数量指标(直径、长度、体积、重量等)，飞机材料的疲劳应力等，都服从或近似服从正态分布．可以说，正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态随机变量．另一方面，有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布；有些分布(如2分布、t分布、F分布)又可通过正态分布导出，所以，无论在实际中，还是在理论上，正态分布都是概率论中最重要的一种分布．7．设()ygx是连续函数，若X是离散型随机变量，则()YgX也是离散型随机变量吗?若X是连续型的又怎么样?答若X是离散型随机变量，它的取值是有限个或可列无限多个，因此Y的取值也是有限个，因此Y是离散型随机变量．若X是连续型随机变量，那么Y不一定是连续型随机变量．例如，设X在(0，2)上服从均匀分布，又设连续函数,01()1,12xxygxx，则()YgX的分布函数()YFy可以计算出来:由于Y的取值为[0，1]，所以当0y时，(){}0YFyPYy当1y时，(){}1YFyPYy．当01y时，01(){}{()}{}()22yyYyFyPYyPgXyPXyfxdxdx，故Y的分布函数为0,0,(),01,21,1,yyFyyy因()YFy在1y处间断，故()YgX不是连续型随机变量．而且Y也不是离散型随机变量，因为()YFy不是阶梯函数.因此，Y实际上是一个奇异型随机变量.