概率论与数理统计各章疑难解答

第二章疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数)(X与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数)(xF的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数)(xF左连续，但大多数书籍定义分布函数)(xF为右连续.左连续与右连续的区别在于计算)(xF时，xX点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于0}{1xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于0}{1xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三章疑难分析1、事件},{yYxX表示事件}{xX与}{yY的积事件，为什么},{yYxXP不一定等于}{}{yYPxXP？如同仅当事件BA、相互独立时，才有)()()(BPAPABP一样，这里},{yYxXP依乘法原理}|{}{},{xXyYPxXPyYxXP.只有事件}{xXP与}{yYP相互独立时，才有}{}{},{yYPxXPyYxXP，因为}{}|{yYPxXyYP.2、二维随机变量),(YX的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|xypxpyxpXYX知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果YX、相互独立，则}{}{},{yYPxXPyYxXP，即)()(),(yFxFyxFYX.说明当YX、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量YX、相互独立，是指组成二维随机变量),(YX的两个分量YX、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{yYPxXPyYxXP.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(BPAPABP.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(YX的两个分量YX、是同一试验E的样本空间上的两个一维随机变量，而BA、也是一个试验1E的样本空间的两个事件.因此，若把“xX”、“yY”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四章疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数XY反映了随机变量X和Y之间的什么关系？相关系数XY是用随机变量X和Y的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量X和Y之间的相关程度.当1XY时，称X与Y依概率1线性相关；当0XY时，称X与Y不相关；当10XY时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量X与Y相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若X、Y相互独立，则X、Y不相关.因为X、Y独立，则)()()(YEXEXYE，故0)()()(),cov(YEXEXYEYX，从而0XY，所以X、Y不相关.（2）若X、Y不相关，则X、Y不一定独立.如：.,0,1,/1),(22　　　其它　yxyxp因为0)()(YEXE，4/1)()(YDXD0,0),cov(XYYX，知X、Y不相关.但/12)(2xxpX，/12)(2yypY,)()(),(YpxpyxpyX,知X、Y不独立.（3）若X、Y相关，则X、Y一定不独立.可由反证法说明.（4）若X、Y不相关，则X、Y不一定不独立.因为X、Y不独立，)()()(YEXEXYE，但若0)()()(XYEYEXE时，可以有0XY，从而可以有X、Y不相关.但是，也有特殊情况，如),(YX服从二维正态分布时，X、Y不相关与X、Y独立是等价的.