工程电磁场--第5章--时变电磁场的基本原理

1第五章时变电磁场的基本原理本章讨论时变电磁场。通过法拉第电磁感应定律，将静电场的环路定理加以扩充并推广到时变场。根据电荷守恒原理，引入位移电流，将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律，从而导出时变电磁场的基本方程组和场矢量的媒质分界面条件。根据磁感应强度的散度方程和电场强度的旋度方程，引入动态位，从麦克斯韦另外两个方程导出时变电磁场的达朗贝尔方程。给出达朗贝尔方程解的一般形式。讨论单元辐射子电磁波辐射的问题。最后，描述了在工程中两种简化条件下，时变电磁场的边值问题。应重点掌握感应电动势、位移电流的概念和时变电磁场的基本性质，理解电磁波传播的基本原理。学会区分远场(辐射场)和近场(似稳场)，学会将涡流场和准静态电流场表述为边值问题。2在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。35.1法拉第电磁感应定律1.电磁感应定律当磁场发生变化时，闭合线圈中产生了电流，这就是电磁感应现象。英国科学家法拉第（M．Faraday1791—1867）在1831年8月29日首次发现电磁感应现象。4当闭合回路环绕的磁通随时间发生变化时，在回路中将引起感应电动势和感应电流。感应电动势的大小与磁通对时间的变化率成正比。感应电动势的参考方向与磁通的方向成右手螺旋关系。根据楞次定律，感应电动势及其所产生的感应电流总是企图阻止导电回路所环绕的磁通发生变化，即由感应电流产生的磁通总是企图抵消原磁通发生的变化。如果考虑到线圈的匝数，磁通应由磁链来代替。因此，感应电动势的表示式为ddet5当线圈环绕的磁链增加时，0ddt，e0,这时感应电流产生的磁通与原磁通方向相反，企图抵消原磁通的增加。当线圈环绕的磁链减少时，ddt0，e0,这时感应电流产生的磁通与原磁通方向相同，企图抵消原磁通的减少。ddet6当磁通发生变化时，闭合回路中产生了感应电动势，说明回路中产生了感应电场。感应电场不同于库仑电场，它不是由电荷产生的，而是由磁场的变化引起的。感应电场的电场强度记为Ei,总的电场强度可表示为EEECi。库仑电场强度EC的闭合线积分为零。设S为闭合回路l限定的曲面，ddet可写成SlltteSBlElEdddddddi7电磁感应定律（Faraday’sLaw）当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。电磁感应定律：负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。感生电动势的参考方向ddet82.时变场中的静止回路对于静止回路，l和S不随时间变化，上式中可先求导后积分因此ElBSBSdddddlSStt对于单匝回路，感应电动势为etSBSd这种静止回路中的感应电动势类似于变压器线圈中的感应电动势，因此叫做变压器电动势。变压器电动势就是S不变、B随时间变化时的感应电动势。9感生电动势103.恒定磁场中的运动回路在恒定磁场中，当导体回路的某一部分以速度v运动时，随导体一起运动的自由电荷将受到洛仑兹力的作用，磁场对运动电荷的作用力为FvBq将作用在单位电荷上的洛仑兹力等效为电场强度，可以看作运动导体中产生了感应电场，其电场强度为EvBi在回路中产生的感应电动势为l)(elBvd11磁场不变，回路切割磁力线lBνd)(ddlte动生电动势若将磁场用磁感应强度线表示，运动的导体将切割磁感应强度线，因此，恒定磁场中运动回路的感应电动势叫做切割电动势。这种感应电动势类似于发电机运动线圈中的感应电动势，又称为发电机电动势。以上从洛仑兹力导出运动回路中感应电动势。实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样是回路中的磁通发生变化。12在均匀的恒定磁场中，当导体以速度v运动时，回路变大，磁通也变大，磁感应电动势为etBStBtSlvtBlvl000=d()vBl其中S0是t等于零时回路围成的面积，l0是运动导体的长度。发电机电动势就是B不变，S随时间变化时的感应电动势。134.时变场中的运动回路与上述两种情况相比，时变场中的运动回路是更为一般的情况。根据法拉第电磁感应定律，闭合回路l中的感应电动势为ElBSddddddlSett根据多元函数求导的法则两种因素都变化时，有ddddd()dlSSlttElBSBSvBl上式称为电磁感应定律的积分形式。14从上述积分形式的电磁感应定律可知，在时变场中，电场强度的闭合线积分不再恒为零。两点之间的电场强度线积分与路径有关。应用斯托克斯定理，上式变为ESBSvBSdddSSSt上式对任意曲面S都成立，因此EBvBtv是场点运动的速度。在静止媒质中，场点相对静止，v0。因此有EBt这就是电磁感应定律的微分形式。15两个需要说明的问题：（1）由于变化的磁场产生电场，使得相对静止的电荷在变化的磁场中受到力的作用而运动。（2）法拉第电磁感应定律虽然是从导体回路的实验中得出来的，但是，回路中的感应电动势与回路材料的电导率无关。16例5-1-1如图所示，无限长直导线通以电流itIt()sinm安，线框以匀速v向右运动。当线框运动到如图所示位置时，求接之AB之间的电压表的读数。解时变场中的两点之间电压不是唯一的。这里只考虑两种情况：(1)电压表用短导线直接接到AB之间，并与线框一起运动；(2)电压表用长导线沿线框接到AB之间，并与线框一起运动。17（1）AB之间的电压应等于沿着线框从B到A的感应电动势,即lSl)(teulBvSBlEdddBAAB因为Be02ireSSdd所以00m0mcosddd22cosln2SSabIdtiSratrtrIdtaabBS18又因为vBevItrz02msin所以()sinvBlellzlvItrddm02线框的两段水平导线上elzd0，因此190m0m0msinsin()d22()sin2()lvdItvdItaabvdbItaabvBluIdtaabvdbItaabABmm0022coslnsin()（2）当电压表用长导线沿线框接到AB之间，电压表联线与线框一起组成一个闭合回路。这个闭合回路围成的面积为零。无论电流和磁场如何变化，线框怎样运动，闭合回路中都不会产生感应电动势。因此，电压表测得的电压为零。2021225.2全电流定律1．时变场的电流连续性在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流的连续性，有JSCdS0在时变场中，根据电荷守恒原理，有JSDSCddSSqtt23在静止媒质中，对求导数运算与曲面积分运算相互独立，可以交换次序JSDSCddSSt上式中，S是任意闭合面。应用散度定理，可得JDCt或JDCt0这就是时变场的电流连续性方程。在时变场中，当Dt0时，传导电流不再保持连续。242．位移电流安培环路定理的微分形式为HJ根据矢量恒等式得H0因此，电流密度必须满足J0在恒定磁场中，电流是恒定的传导电流，传导电流密度的散度为0。25在时变场中，传导电流不再保持连续。因此安培环路定理中的电流就不能仅仅是传导电流。根据时变场的电流连续性方程，有JDCt0因此，若将Dt也看作是一种电流密度，记为JD，令全电流密度为JJJTCD则JT0，安培环路定理就可以推广到时变场。26JD称为位移电流密度，相应的面积分itDDSSJSDSdd称为（穿过S面的）位移电流。位移电流是英国科学家麦克斯韦（J.C.Maxwell1831—1879）提出的一种假设。273．全电流定律根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律。CtDHJ称为全电流定律的微分形式。应用斯托克斯定理HlJDSlSDtiiddCC这就是全电流定律的积分形式。28有时还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流电流密度为Jvv运流电流为ivvSSJSvSdd29DvJJJJCTiiiiDvTC运流电流与传导电流都是由电荷运动形成的。在空间同一点上两种电流不能同时存在。完整的全电流定律的微分形式应为tvDJJHC全电流定律的积分形式应为HllDviiidC30全电流定律表明，除传导电流、运流电流产生磁场外，位移电流也产生磁场。传导电流和运流电流都是电荷的运动。但位移电流却不是电荷的运动，而只是电场的变化。变化的磁场能产生电场,变化的电场能产生磁场。31麦克斯韦假设位移电流存在，从论证了变化的电场也能产生磁场，并预见了电磁波的存在。1887年至1888年德国科学家赫兹(H.R.Hertz1857—1894)通过实验证实了电磁波的存在，从而间接证明了位移电流假设的正确性。32麦克斯韦最关键的贡献就是引入了最后一个关键角色—变化的电场，他认为不止是静电场中的稳恒电流能产生磁场，变化的电场更应该能产生磁场，只不过不太容易被观察到而已。这个关键性的观念直接导致了麦克斯韦电磁场理论—可以说是牛顿力学后，物理学历史上的第二个人类理性的辉煌胜利。把变化的电场作为一个电磁现象中的角色，关键就是把变化的电场也看成一种电流，这就是麦克斯韦提出的位移电流的概念。33例5-2-1求如图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。解设电容器极板面积为S，正负极板距离为d，电介质的介电常数为。电容器正负极之间加随时间变化的电压u。34电容器中电场强度的量值为Eud,电位移矢量的量值为DEud。因此，位移电流密度的量值为JDtdutDdd；35位移电流为iJSSdutDDdd平板电容器的电容CSd，所以iCutCtqCqtiDddddddC()上式中：q是极板上的电荷，iC是联接电容器的导线中的传导电流。可见，导线中的传导电流到达电容器极板后，转变为极板间的位移电流。全电流是连续的。36电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并不就是等于断开了电路。电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个等效的电流就是位移电流。37例计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。解：铜中的传导电流大小为tEEJcsin0tEtEtDJdcos0ffJJcd1979106.9108.5103612383940415.3电磁场的基本方程组1．积分形式的电磁场基本方程库仑定律、安培定律、法拉第定律为电磁场理论提供了坚实的实验基础。在此基础上，根据电荷守恒原理，麦克斯韦提出了位移电流假设，将静电场和恒定磁场的基本方程扩展，推广到时变场，得时变电