3-流体运动学

高等流体力学3流体运动学3流体运动学流体运动学研究流体的运动规律，研究流体在运动中其流动参数之间的相互关系，不涉及运动产生的原因。研究的内容包括流体运动方式以及速度、加速度、位移、转角等随时间、空间的变化。流场的概念：在流动空间中，流体质点是连续不断的，表征其流动特征的各种流动参数必然是连续分布的，形成了速度场、密度场、压力场、应力场等，这些向量场、标量场、张量场的总和，称为流场。3.1研究流体运动的两种方法流体力学中通常采用下列两种方法：(1)拉格朗日法：以流场中个别质点的运动作为研究的出发点，从而进一步研究整个流体的运动。这种方法是质点系力学研究方法的自然延续。(2)欧拉法：它不着眼于研究个别质点的运动特性，而是以流体流过空间某点时的运动特性作为研究的出发点，从而研究流体在整个空间里的运动情况。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法拉格朗日法是通过下列两个方面来描述整个流动情况的：(1)某一运动的流体质点的各种物理量(如密度、速度等)随时间的变化；(2)相邻质点间这些物理量的变化。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法由于流体质点是连续分布的，要研究某个确定的质点的运动，首先必须有一个表征这个质点的办法，以便识别、区分不同的流体质点。因为在每一时刻，每一质点都占有唯一确定的空间位置，因此通常采用的办法是以某时刻t＝t0各质点的空间座标(a,b,c)来表征它们。显然，不同的质点将有不同的(a,b,c)值，(a,b,c)是流体质点标号的函数，而且是连续存在的。3.1.1拉格朗日(Lagrange)法(1)流体质点的空间位置当研究任意流体质点的位置时，由于各个质点在t＝t0时刻的坐标值(a,b,c)不—样，因此各质点在任意时刻的空间位置，将是a,b,c,t这四个量的函数。当a,b,c固定时，此式代表确定的某个质点的运动轨迹；当t固定时，上式代表某特定时刻各质点所处的位置，即质点的位置分布。所以上式可以描述所有质点的运动。tcbazztcbayytcbaxx,,,,,,,,,3.1.1拉格朗日(Lagrange)法(1)流体质点的空间位置若用向径r＝xi＋yj＋zk表示质点的位置，则上式可写成这里用来识别、区分不同流体质点的标志a,b,c，都应看作是自变量，它们和时间t一起被称作拉格朗日(Lagrange)变数。显然，在t＝t0时刻，各质点的坐标值等于a,b,c，即tcba,,,rrctcbazzbtcbayyatcbaxx000000,,,,,,,,,拉格朗日变量不是空间坐标的函数，而是流体质点标志的函数3.1.1拉格朗日(Lagrange)法(2)流体质点的速度、加速度按照速度的定义，流体质点的速度可以表示成由于r＝r(a,b,c,t)，且流体质点标号函数(a,b,c)不随时间t变化，因此，上式中的全导数r与对时间t的偏导数相等，即采用速度分量的形式u＝uxi＋uyj＋uzk，有tcbat,,,uruddtrutcbautzutcbautyutcbautxuzzyyxx,,,,,,,,,txtxtccxtbbxtaaxdtdx3.1.1拉格朗日(Lagrange)法(2)流体质点的速度、加速度同样，流体质点的加速度可表示为它在直角坐标系中的分量为tcbatt,,,arua22tcbaatztuatcbaatytuatcbaatxtuazzzyyyxxx,,,,,,,,,2222223.1.1拉格朗日(Lagrange)法同样，其它物理量也应该是拉格朗日变数a,b,c,t的函数。例如：流体密度流体压强流体温度tcba,,,tcbapp,,,tcbaTT,,,拉格朗日法可以描述各个质点不同时刻的参量变化。由于是连续追踪个别质点的描述，拉格朗日法可以研究流体运动轨迹以及轨迹上流动参量的变化，但研究整个流场的特性时并不方便，除去个别情况（如研究流体的波动、振荡）以外，很少采用拉格朗日法。3.1.2欧拉(Euler)法欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的：(1)在空间固定点上流体的各种物理量(如速度、压力等)随时间的变化；(2)在相邻的空间点上这些物理置的变化。3.1.2欧拉(Euler)法需要指出的是，不能把空间点与流体质点相混淆。流体运动时同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质点所占据。所谓空间各点上的物理量是指占据这些位置的各个流体质点的物理量，在欧拉法中，各物理量将是时间t和空间点坐标x,y,z的函数，例如流体的密度、压强、温度可表示为流体密度流体压强流体温度通常把用以识别空间点的坐标值(x,y,z)及时间t称作欧拉变数。tzyx,,,tzyxpp,,,tzyxTT,,,3.1.2欧拉(Euler)法(1)空间点上流体质点的速度在直角坐标系中，流体运动的速度场可表示成由于u＝uxi＋uyj＋uzk，故其分量形式为不同时刻在不同空间点上流体质点的速度也不同。tzyx,,,uutzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx,,,,,,,,,3.1.2欧拉(Euler)法(2)质点导数与流体质点的加速度流体质点的物理量对于时间的变化率称做该物理量的质点导数，通常用D/Dt表示。质点的加速度a是该质点的速度u对时间t的变化率，也就是速度的质点导数。在欧拉法中，流体质点的速度既是时间的函数，又是空间坐标(质点所处的位置)的函数。质点的位置将随时间变化，在这个意义上，(x,y,z,t)不是相互独立的，即：tzztyytxx3.1.2欧拉(Euler)法(2)质点导数与流体质点的加速度质点的加速度a可写成或者tzztyytxxttddddddDDuuuuuazuyuxutzyxuuuuuuuuuuatttDD3.1.2欧拉(Euler)法(2)质点导数与流体质点的加速度由此式可见，在欧拉法中质点加速度由两部分组成。其中∂u/∂t称作当地加速度，或称局部加速度，它表示在同一个位置上，流体速度对于时间的变化率，它是由流场的不定常性引起的，对于定常流动，∂u/∂t＝0。式中的(u·)u这一项称作对流加速度或迁移加速度，它是由流场的不均匀性引起的。3.1.2欧拉(Euler)法(2)质点导数与流体质点的加速度对于流场中的其它物理量也可以用类似的方法求得它们的质点导数，例如密度、压强、温度的质点导数为uutttDDptptptpuuDDTtTtTtTuuDD3.1.2欧拉(Euler)法(2)质点导数与流体质点的加速度总之，任意物理量B的质点导数都可写成通常称为质点导数算子。BuBttDDuttDD可以是标量、矢量、张量3.1.2欧拉(Euler)法(2)质点导数与流体质点的加速度以下分别是在直角坐标、柱坐标、球坐标系中的质点导数算子表达式。直角坐标系中柱坐标系中球坐标系中zuyuxuttzyxDDzururuttzrDDsinDDrururuttr3.1.2欧拉(Euler)法通常情况下，采用欧拉法研究流体力学问题具有一定的优越性：①采用欧拉法研究流体运动得到的是场，便于利用场论这一有力的数学工具；②采用欧拉法时，所得的流体运动方程是一阶偏微分方程组，求解相对容易(相对于采用拉格朗日时所得运动方程是二阶偏微分方程组而言)；③工程上解决实际问题时并无必要知道每一质点的运动情况，只需了解空间上的参数特征。例.已知用拉格朗日变量表示的速度分布2)2(teau2)2(tebv且时，，，求：0taxby（1）时的质点分布3t（2）质点的运动规律2,2ba（3）质点加速度解：根据速度公式2)2(teautx2)2(tebvty将上式积分),(2)2(1baCteaxt),(2)2(2baCtebyt其中，为积分常数，是拉格朗日变量的函数21,CCba,利用初始条件，确定积分常数时，，，可得，0taxby21C22C故22)2(teaxt22)2(tebyt（1）将代入上式，可得3t8)2(3eax8)2(3eby（2）时，2,2ba224text224teyt（3）质点加速度teatu)2(tebtv)2(拉格朗日法、欧拉法两种表达式互相转换拉格朗日法质点位置坐标公式→欧拉法运动速度表达式由拉格朗日法位置坐标表达式),,,(tcbaxx),,,(tcbayy),,,(tcbazz可以求出用表示的拉格朗日变量的关系式tzyx,,,cba,,),,,(1tzyxfa),,,(2tzyxfb),,,(3tzyxfc代入拉格朗日法质点运动速度公式),,,(tcbaxtxdtdxu),,,(tcbaytydtdyv),,,(tcbaztzdtdzw可得欧拉法运动速度公式),,,(tzyxuu),,,(tzyxvv),,,(tzyxww将欧拉法运动速度表达式→拉格朗日法质点位置坐标公式由欧拉法运动速度表达式),,,(tzyxutxdtdxu),,,(tzyxvtydtdyv),,,(tzyxwtzdtdzw积分可得),,,(3211tCCCFx),,,(3212tCCCFy),,,(3213tCCCFz其中，为积分常数321,,CCC按照拉格朗日法，时，0ttczbyax,,),,,(03211tCCCFa),,,(03212tCCCFb),,,(03213tCCCFc由此可得以表示的的表达式321,,CCCcba,,),,,(011tcbaC),,,(022tcbaC),,,(033tcbaC代入上式，即可得到拉格朗日表达式以欧拉法表示流体运动特性时，可以利用欧拉法与拉格朗日法的互换关系求出迹线方程流场的欧拉表达式),,,(tzyxudtdxu),,,(tzyxvdtdyv),,,(tzyxwdtdzw根据以上各式dtwdzvdyudx即质点轨迹微分方程式（迹线微分方程式），其中t是独立变量例.有一流场，其欧拉表达式为txdtdxutydtdyv0dtdzw积分可得1tAext1tBeytCz当时，，，，代入上式，解出A、B、C0ttaxbycz010tetaA010tetaBcC代入上式1100teetaxtt1100teetayttcz求迹线稳定流动和不稳定流动zvwyvvxvutvdtdv流体质点加速度包括时变加速度和位变加速度两项稳定流动——时变加速度为零，流场中任何质点的流动参量不随时间改变，但不同质点流动参量可以不同不稳定流动——时变加速度和位变加速度都不为零，流动参量不仅随位置而改变，而且随时间而改变),,(zyxuu0tu，),,(zyxvv，0tv),,(zyxww0tw，),,(zyxpp，0tp流线和迹线流线研究法——同一瞬时，质点与质点间流动参量的关系迹线研究法——同一质点在不同时间流动参量的关系迹线——流体质点运动的轨迹线一般情况下，只有以拉格朗日法表示流体质点运动时，才能做出迹线特点：对于每