质点运动的平面极坐标描述

§1-2质点运动的平面极坐标描述当质点被限制在一个平面上运动时,其自由度2=s,我们建立与参考系固连的极坐标系.质点P的位置由坐标量r和q确定,要明确极角q的正方向(即q的增加方向)!平面极坐标系是正交曲线坐标系,其平面坐标网格由一组同心圆(1cr=)及一组放射状半直线(2c=q)组成.平面极坐标系的基矢为re和qe.0=⋅qeer.re的方向为径向,qe的方向为横向.)(qrree=,)(qqqee=.我们把矢量沿质点所在位置的基矢“就地”进行正交分解.在极坐标系中,质点的运动学方程为[])()(tetrrrq=标量形式)(),(ttrrqq==消去时间t,则得到轨道方程0),(=qrf.根据速度的定义,把[])()(tetrrrq=对时间求导数,得到teretrtrvrrdddddd+==下面求单位矢量re的时间导数terdd,tettettetertrrtrΔΔ=Δ-Δ+=→Δ→Δ00lim)()(limdd当0→Δt时,0→Δq.注意到由re及reΔ组成的矢量三角形为腰长为1的等腰三角形,所以当0→Δt时reΔ与re垂直,且qΔ⋅=Δ1re.由于0→Δq且0Δq时reΔ与qe方向相同,所以0→Δt时qqeer⋅Δ=Δ,故qqqqeettetr⋅=ΔΔ=→Δ0limdd于是得到极坐标系中的速度表达式,qqerervr+=rvr=称为径向速度,qqrv=称为横向速度.根据加速度的定义,得)(ddddqqererttvar+==terererererrddqqqqqqqq++++=下面改换一个方法求teddq.由于qe为单位矢量,故qe的矢端曲线为半径为1的单位圆.0Δq时,qe的矢端沿其矢端曲线运动的速率为q⋅1,teddq的方向沿矢端曲线切线,其指向如图所示,故可知reteqq-=dd同样,qqeter=dd于是得到极坐标系中加速度的表达式qqqqerrerrar)2()(2++-=2qrrar-=和qqqrra2+=分别称为径向加速度和横向加速度.矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加,请读者试用这种观点分析式中各项是如何产生的.还可用运动分解和合成的观点理解式中各项的意义.例题1半径为R的铁圈上套一小环P,直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度w转动.求小环P的运动方程、轨道方程、速度和加速度.解如图所示建立极坐标系，设0=t时0qq=，则运动学方程为⎩⎨⎧+=+=00)cos(2qwqqwttRr轨道方程为qcos2Rr=速度和加速度为qqerervr+=qqwwqwwetRetRr)cos(2)sin(200+++-=qqqqerrerrar)2()(2++-=qqwwqwwetRetRr)sin(4)cos(40202+-+-=本例题也可用图中直角坐标系xyzO2求解,由读者自行完成.请读者另行验证:(1)不同方法中av,表达式不同,但它们对描述P点运动是等价的;(2)不同方法中av,的大小和方向是惟一确定的.例题1是运动学正问题,即先写出运动学方程,通过求导数运算求出v和a.运动学逆问题是已知速度或加速度及初条件求运动学方程,使用的数学方法是积分或解微分方程,和正问题比较要复杂一些,但只要把握解题的方向也是不难解决的.例题2已知一质点做平面运动，其速率为常量c，其位置矢量转动的角速度亦为常量0w，试求质点的运动学方程及轨道方程.设0=t时，0=r,0=q.解由已知条件0wq=(1)2222crr=+q(2)把（1）是式化为tdd0wq=，积分并由0=t时0=q定积分常数，可得t0wq=(3)把（1）式代入（2）式，分离变量得trcrdd2202±=-w积分并以0=t时0=r定积分常数，得tcr00sinww±=(4)（3）（4）二式即为运动学方程⎪⎩⎪⎨⎧=±=ttcr000sinwqww消去t得轨道方程qwsin0cr±=轨道为两个圆，如图所示.