可持续发展捕鱼策略模型

第1页 【摘要】 渔业等可再生资源的开发利用中，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益，是一种合理的开发策略。本文针对某包含了四种年龄结构鱼群的渔场，在既定的死亡率与平均产卵量等条件下，寻求可持续捕捞中的收获量最大化。 在问题一中，本文首先利用微分方程模型求出了某捕捞强度下的收获量与各年龄段鱼群的种群数量，再由可持续捕捞条件下种群数量的稳定性条件，建立求解数学规划模型，确定了当捕捞强度为22.2036kC时，每年最优捕鱼量为g = 3.06501110 (g)一至四年龄段鱼群在可持续条件下每年的初始数量分别为： 101011079.228910;24.146810;31.862210;41.670410;xxxx 在问题二中本文针对渔业公司五年的最优捕捞策略，在确定了每年捕捞量、产卵量和各种群数量之后，针对不同的可持续捕捞约束条件，建立数学规划模型求出了不同条件下的各年龄段种群数量与最大收获量。 最后，通过对模型假设的不断放松，提出了将死亡率分布函数()t和捕鱼强度函数()kiCt一般化，利用现实生活中可测的()t函数，通过动态优化理论，构建Hamilton函数的方法去解出最合理的()kiCt，即使最优化的捕鱼规划方案。同时对于产卵这一过程，将其从一个瞬时过程拓展为一个概率分布问题，以均匀分布为例，进行了分析。 本文对渔业资源的动态发展和变化趋势进行模拟和分析，为合理开发利用渔业资源和保护环境提供快速、准确、有效的信息咨询和决策支持。 【关键词】 可持续捕捞  最大收获量  微分方程  数学规划 动态优化 MATLAB              第2页 目录 1.问题的重述与分析………………………………………………………………32.模型假设…………………………………………………………………………33.模型符号说明……………………………………………………………………34.模型的分析与建立………………………………………………………………44.1可持续捕捞模型……………………………………………………………44.1.1瞬时死亡率的确定…………………………………………………44.1.2种群数量与捕捞量的确定…………………………………………44.1.3可持续捕捞数学规划模型的建立…………………………………64.2渔业公司5年的最优捕捞策略……………………………………………64.2.1每年捕捞数量等的推导……………………………………………64.2.1.1第一年的捕捞量………………………………………………74.2.1.2第二年的捕捞量………………………………………………74.2.1.3第三年的捕捞量………………………………………………84.2.1.4第四年的捕捞量………………………………………………84.2.1.5第五年的捕捞量………………………………………………94.2.2最优化捕鱼模型的确定……………………………………………95.模型的求解与结果分析…………………………………………………………105.1可持续捕捞模型的求解…………………………………………………105.2承包5年的模型求解……………………………………………………116.模型的拓展与评价………………………………………………………………126.1拓展一：非均匀捕捞模型………………………………………………126.2拓展二：随机产卵模型…………………………………………………13参考文献……………………………………………………………………………14附录…………………………………………………………………………………15                  第3页   1.问题的重述与分析为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 问题要求考察某渔场中一共分为4个年龄组鱼的可持续捕捞问题，在既定的死亡率与平均产卵量等条件下，针对可持续捕捞的情况和承包5年的情况分别建立模型求解能获得最大收益时的捕捞强度，并对渔业资源的动态发展和变化趋势进行模拟和分析，为合理开发利用渔业资源和保护环境提供快速、准确、有效的信息咨询和决策支持。 2.模型假设：1)假设所研究的鱼群是在一个封闭的只有一种鱼的渔场环境，不考虑鱼的迁入与迁出； 2)鱼类的产卵孵化都是在较短时间内完成的(通常在5天内)[3]，即不考虑鱼群产卵孵化的时间，认为产卵孵化是在瞬间完成的，并且每年后四个月的一开始即进行产卵； 3)假设渔场能够为鱼群的生存提供足够的空间与食物，既不考虑渔场的最大容量问题； 4)假设题目中涉及的死亡率是一个瞬时死亡率，且该瞬时死亡率的数值为一常数； 5)假设四龄鱼过了第四年后全部死光，不存在四龄以上的鱼； 6)假设捕鱼强度是在生产期间为一固定值； 7)假设渔场不会发生瘟疫、海水污染等不可抗力导致的鱼类大量死亡； 3.模型符号说明：符号 含义 单位与备注 i 鱼的年龄组结构 1,2,3,4i t 一年中的某时刻 (0,1)t k 年份数 k为正整数 ()kitx 第k年t时刻第i个年龄组鱼的种群数量 单位：条 0(0)kx 第k年的产卵总量 单位：个 ()kidtdtx t时刻第i个年龄组鱼的种群数量随时间的变化率 单位：条/年 iw 第i个年龄组鱼的平均重量 单位：克   卵孵化为一龄鱼的成活率，即一龄鱼条数与产卵总量之比111101.22101.2210(0)kx 第4页  鱼的自然死亡率 0.8(/)年 A 平均每条四龄鱼的产卵量 51.10910()A个 kiC 第k年第i个年龄组鱼种群的捕捞强度系数 与单位时间内第i个年龄组鱼种群数量成正比，单位:年‐1 第3年龄组与第4年龄组鱼种群的捕捞强度系数之比 其中340.42CC ()Qk 第k年的年捕捞量 单位/g  4.模型的分析与建立4.1可持续捕捞模型4.1.1瞬时死亡率的确定由于假定题目中涉及的死亡率是一个瞬时死亡率，假设将一年均分为p个时段，当p足够大时，这个时段的平均死亡率即为瞬时死亡率。对于第t年的某年龄段的种群数x(t)，若不进行捕捞，则x(t)满足： (1)(1)()(1)()pxtxtxtp                   (1) 当p足够大时，有 ()lim(1)lim(1)[lim(1)]ppppppeppp          (2) 即对于瞬时死亡率，有： (1)(1)()()xtxtext                     (3) 由上式可以得到鱼群的瞬时死亡率为，经过一年后的存活率即为e。 4.1.2种群数量与捕捞量的确定设(0)kix来代表鱼群的数量，上标K代表第K年，下标i代表第i类型的鱼，1(0)kx是一个以时间t为变量的函数。0(0)kx代表第K年的产卵量。在每年的后四个月的一开始，产卵量为：        034122(0)()(),N233kkkxAxtAxtt其中             (4) 经查资料，鱼卵孵化的时间很短[3]，所以本文假设在九月初，鱼卵就都孵化出来了，因此到第二年年初时，部分孵化出的鱼会死亡。此时剩余的孵化出的鱼的数量为：  11310(0)(0)kkxxe                       (5) 第5页   因此在每年初始时，对于不同年龄段的鱼，有：                    11+11310(0)(1),123N(0)(0)kkiikkxxikxxe、、                    (6)  在每年前8个月的任意一时刻，根据鱼群的数量变化构建一个微分方程模型： ()2()(),1234(,()),3kkkkiiiidtttittCkkkdtxxx、、、，为正整数  (7) 对于捕捞强度()kiCt，根据假设，每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，单位时间内捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数： 0.42,3(),4,0,kkkkiCCiCtCik为正整数其他              (8) 因此，可以解出微分方程(7)的解为：                     []()(0)kiCtkkiitexx                       (9) 这是3龄鱼和4龄鱼在每年的一月到八月之间的数量变化方程。 设一龄鱼在第一年年初的时候数量为11(0)x，根据模型假设可以得到两年后的数量为                      31231(0)(0)exx                     (10)              等到它变为三龄鱼可以捕捞的时候，利用计算出来的方程(9)，在两年八个月后的数量为：                  2()3123312(0)(0)3kaCeexx               (11) 第四年初的数量为： 121()43123334312(0)(0)(0)3kCaeeeexxx       (12) 再过八个月后的数量为： 2212()()()441233334412(0)(0)(0)3kkkaCCCeeeeexxx (13) 由于每年都只能捕3龄鱼和4龄鱼，所以每年的捕鱼量()Qk为： 第6页 342233340034()()()kkkkCCtdttdtQkWWxx3422(0.42)()3334(0)[1](0)[1]0.42kkkkkkCCkkCCeeCCWWxx   (14) 4.1.3可持续捕捞数学规划模型的建立可持续捕捞要求整个渔场每年开始捕捞的时候各年龄鱼群的数量都不变，所以每年每个时刻的的各鱼群的数量应该和上一年相同，所以有： 1()(),kkiittkxx为正整数                     (15) 所以对于第k年的产卵量，由(1)式有： 034122(0)()(),N233kkkxAxtAxtt其中        (16) 将(11)(13)(15)式代入可以知道：               2212()()()11212333301182112(1)133331111(0)(0)(0)21(0)[]2()(0)kkkkkaCaCCaCaCkxAeeAeeeeAeeCxxxx    (17) 又因为 1113101131(0)(0)(0)[]()kkexbCexx             (18) 显然需要满足 13()kCe                           (19) 综上所述，所达到可持续捕捞时的各年龄段鱼的总数与捕捞强度的数学规划模型如下 13max[]:()()kCRkstCeQk                         (20)  4.2渔业公司5年的最优捕捞策略4.2.1每年捕捞数量等的推导题目中给出的四种鱼的初始数据为： 鱼的年龄段 个数(单位：×109条) 一龄鱼 122 二龄鱼 29.7 第7页 三龄鱼 10.1 四龄鱼 3.29 由前文可知，题目中第二问给定的初始的各年龄段种群数量并未达到可持续捕捞的状态。由此本文设这五年每一年的捕捞强度系数为,12...5kCk其中、。 4.2.1.1第一年的捕捞量对于第一年的捕捞量，有： 11342233110034()()(1)CCtdttdtQ