向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算复习：向量数量积的定义是什么？如何求向量夹角？向量的运算律有哪些？平面向量的数量积有那些性质?答：babababacos,cos运算律有：)()().(2bababaabba.1cbcacba).(3数量积性质:0cos)1(aeaae0)2(baba22aaaaaaa(3)或babacos)4(baba)5(0设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，θ是a与b的夹角。1100二、新课讲授问题1：),,(),,(2211yxbyxa已知怎样用ba,的坐标表示呢？请同学们看下列问题.ba设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：ij①②③④=ii=jj=ji=ij），（），，（已知两非零向量2211yxbyxa，则有轴方向相同的单位向量轴和分别为与，设yxjijyixa11jyixb22）（）（jyixjyixba22112211221221jyyijyxjiyxixx，，1122ji0ijji2121yyxxba两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。问题2：推导出的坐标公式.ba问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量平行和垂直的坐标表示式.（1）两向量垂直条件的坐标表示0baba），（），，（已知两非零向量2211yxbyxa02121yyxxba注意记忆向量垂直与平行的坐标表示区别。（2）两平面向量共线条件的坐标表示babba使得存在唯一的）（0//1221//0abxyxy（3）向量的长度（模）2211axy），那么，），（，为（点的坐标分别的有向线段的起点和终若表示向量2211yxyxa212212）（）（yyxxa（两点距离公式）（4）两向量的夹角cosabab夹角为），（），，（两非零向量,2211yxbyxa212121212121yxyxyyxx例1(1)已知a=（5，-7），b=（-6，-4），求ab。解(1)：）（）（）（4765ba28302则实数为（2）已知a=（3，4），b=（2，-1），且（a+mb）⊥（a-b），m何值？则实数为（3）已知a=（1，2），b=（n，1），且（a+2b）//（2a-b），n何值？1例23421abambabm（）已知（，），（，），且（）（），则实数为何值？解：2（）），（mmbma423），（51ba）（）（babma0）（）（babma054123）（）即（mm323m1例则实数为（3）已知a=（1，2），b=（n，1），且（a+2b）//（2a-b），n何值？解：）（）（baba2//232124abn（）（，）），（322nba024321）（）（nn21n.4,3,90,2,2,(1)c(2)c(3)?ababcabdakbkddcd已知与的夹角为且问为何值时∥与的变：夹角为锐角形.0:的夹角为锐角与不能保证向量注baba!同向的情况与还要考虑向量ba42101133131abab（）若（，），（，）则与的夹角为21231abab（）若（，），（，）则与的夹角的余弦值为练习6563.D6533.B6533.C6563.A（3）、若则与夹角的余弦值为（）),12,5(),4,3(baabB23（-，-）(4)、已知向量，且的夹角为钝角，则x的取值范围是.)4,3(),,2(bxaba,例2：求与向量的夹角为45o的单位向量.)13,13(a解：设所求向量为,由定义知：222845cosxaxa),(nmx……①另一方面nmxa)13()13(……②待定系数法分析：可设x=（m,n)，只需求m,n.易知122nm再利用（数量积的坐标法）即可！xaxa)(定义∴由①，②知2)13()13(nm122nm解得：或231m232n211n212m∴)21,23(x)23,21(x或例3：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证:△ABC是直角三角形.031)3(1ACAB△ABC是直角三角形证明：)1,1()23,12(AB)3,3()25,12(AC)2,4()35,22(BC(2,3),(1,),ABACkABC：在ABC中，设且是直角三角形变形，求k的值。:(1,3)1)90,,0(2,3)(1,3)023(3)0113BCACABkABCABCBABCBABCkkk解又是直角三角形即当K还有其他情况吗？若有，算出来。要注意分类讨论！顶点别为边为例4、已知ΔABC的分A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），BC上的高AD，求：ADD点的坐标以及）（1的形状，并说明理由）判断（ABC2解：,Dxy设点的坐标为(2,1),(6,3),(3,2)ADxyBCBDxyBCAD边上的高是BCAD三点共线、、又CDBBDBC//ABCxy顶点别为边为例4、已知ΔABC的分A（2，1），B（3，2），C（-3，-1），BC上的高AD，求：ADD点的坐标以及）（10)3()3()6()2(0)3()1()6()2(xyyx5759yx解得：），（5251AD55525122）（）（AD555759ADD），，点的坐标为（ABCxy4ΔABCA21B32C-3-1BCAD例、已知的顶点分别为（，），（，），（，），边上的高为，求：的形状，并说明理由）判断（ABC2ABCxy)2(解：ABACABACAcos），（），，（1125ABAC71215）（）（ABAC261)5(2AC2AB5270为钝角A为钝角三角形ABC例5:已知，且存在实数k和t，使得且，试求的最小值.)23,21(),1,3(ba2(3),xatbykatbyx2ktZt解：由题意有:132,1,31022ababab2,30xyxyatbkatb又334ttk222117432444kttttt272.4kttt当时，有最小值说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系，利用二次函数求最值。解:∵cd,∴cd=0,即(sin3)(sin)0abkab也即2sinkaab(sin3)kab+2sin(sin3)0b,变形1：已知平面向量(3,1)a,b=(21,23),若存在不为零的实数k和角,使向量(sin3)cab,(sin)dkab,且cd，试求实数k的取值范围.又∵(3,1)a,b=(21,23),∴ab=0,且2a=2a=4,∴24a,221bb,∴－4k+sin(sin3)=0,∴k=2139(sin)4216,∵－1≤sin≤1,∴当sin1时，k取最大值1;当sin1时，k取最小值12.所以所求k的取值范围为1,00,12变形2：平面直角坐标系有点)cos,1(xP，(cos,1)xQ，x[4,4]⑴求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数);(xf⑵求的最值.解:(Ⅰ)2cosOPOxQ,21cosOPOxQ,22coscos1cosOPOxxOPOQQ,∴22cos()(,)1cos44xfxxx解:⑵22coscos()(,)1cos44xfxxx,2cos,12tx令,∴222cos()(,1)12tttt,变形2：平面直角坐标系有点)cos,1(xP，(cos,1)xQ，x[4,4]⑴求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数);(xf⑵求f(x)的最值.∴22()1ttt在2,12上是增函数.∴22cos13≤≤课堂小结：这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几何问题。（1）两向量垂直条件的坐标表示02121yyxxba（2）两向量平行条件的坐标表示1221//0abxyxy1122axybxy设（，），（，）2121yyxxba（3）向量的长度（模）212122yxaa2121yxa或（4）两向量的夹角babacos121222221122xx+yy=x+yx+y1122axybxy设（，），（，）