ch15-01傅里叶级数

数学分析第十五章数学分析2目录上页下页返回结束第一节一、三角级数·正交函数系二、以2周期的函数展成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第15章傅里叶级数数学分析3目录上页下页返回结束一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:tnAtnAnnnnsincoscossin令,sinnnnAa,cosnnnAb得函数项级数)sincos(210xnbxnaannk为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.数学分析4目录上页下页返回结束定理1.)sincos(210xnbxnaannn若数项级数)(210nnnbaa收敛,在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.收敛,则级数证明:对任何实数x,由于nnnnbaxnbxnasincos所以结论成立.数学分析5目录上页下页返回结束xxnkxnkd)cos()cos(21定理2.组成三角级数的函数系证:1xnxdcos1xnxdsin0xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk数学分析6目录上页下页返回结束上的积分不等于0.2d11xxxndsin2xxndcos2,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在数学分析7目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf①②对①在逐项积分,得数学分析8目录上页下页返回结束xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2xxkxfakdcos)(1),2,1(k(利用正交性)),2,1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得数学分析9目录上页下页返回结束叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf),1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式②确定的①②以),2,1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里叶级数.称为函数数学分析10目录上页下页返回结束待解决的问题:1)级数2)若收敛,和函数是否为f(x)?即f(x)能否展开成傅立叶级数?10sincos2nnnxnbxnaa是否收敛?数学分析11目录上页下页返回结束1)f(x)在[a,b]上连续或至多有有限个第一类间断点;f(x)在[a,b]上按段光滑：在这有限个点处f(x)在[a,b]上光滑：三、收敛定理f(x)的导函数在[a,b]上连续.在[a,b]上除有限个点外都存在且连续,2)且的左右极限存在.数学分析12目录上页下页返回结束若f(x)在[a,b]上按段光滑，1)及在[a,b]上可积;2)在[a,b]上每一点都存在,且3)几何上表示其由有限个光滑间断点与角点.则弧段组成,它至多由有限个第一类数学分析13目录上页下页返回结束定理4.(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,且在[-,]上按段光滑,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有,)(xf,2)0()0(xfxfx为间断点其中nnba,(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.数学分析14目录上页下页返回结束注意:2)在上的傅氏级数指其周期延拓后的函数的傅氏级数.1)设f(x)是周期为2的周期函数,则2),1,0(dcos)(dcos)(ccnxnxxfxnxxf2),1,0(dsin)(dsin)(ccnxnxxfxnxxf数学分析15目录上页下页返回结束例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为xxxf0,10,1)(解:先求傅里叶系数00dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将f(x)展成傅里叶级数.oyx11数学分析16目录上页下页返回结束00dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,,0,(xx数学分析17目录上页下页返回结束77sinx]99sinx1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112)傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sinxoyx11说明:f(x)的情况见右图.数学分析18目录上页下页返回结束xoy例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设f(x)是周期为2的周期函数,它在数学分析19目录上页下页返回结束),2,1(nxnxxfbndsin)(1nn1)1(),2,1(k12knkn2,00dsin1xnxx4cosx2xsinx2sin213sin3cosxx23231x4sin415sin5cosxx252512cos1nnan,2)12(2k),2,1,0,)12(,(kkxx说明:当)12(kx时,级数收敛于22)(0数学分析20目录上页下页返回结束周期延拓)(xF傅里叶展开上的傅里叶级数傅氏级数展开法),[,)(xxf,)2(kxf其它定义在[–,]上的函数f(x)的数学分析21目录上页下页返回结束例3.将函数级数.oyx则xxFad)(10xxfd)(10222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(102cossin2nnxnnxx解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),数学分析22目录上页下页返回结束x3cos312)1cos(22nn12knkn2,0),2,1(k,2)12(4kxnxxfdsin)(12xcosx5cos512利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得说明:数学分析23目录上页下页返回结束42,421312设22217151311,6141212222已知821又21213624822212248222数学分析24目录上页下页返回结束三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为数学分析25目录上页下页返回结束例4.设的表达式为f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21)1(2nn数学分析26目录上页下页返回结束n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:)(xf)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin)1(1yxo级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5数学分析27目录上页下页返回结束例5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数.解:2yxo20a0dsin2ttEttntuan0dcos)(2ttntE0dcossin20d)1sin()1sin(ttntnE是周期为2的周期偶函数,因此0d)(2ttu数学分析28目录上页下页返回结束t2cos310d)1sin()1sin(ttntnEan12,0kn1a0)(tu0d2sinttE21t4cos151t6cos351E2E4xkkEk2cos141412数学分析29目录上页下页返回结束函数展成正弦级数与余弦级数],0[),(xxf周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数f(x)在[0,]上展成xoy2.在[0,]上的数学分析30目录上页下页返回结束1xyo例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,0dsin)1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos12),2,1(k数学分析31目录上页下页返回结束nb),2,1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数1xyo因此得f(x)=x+1的值不同.数学分析32目录上页下页返回结束再求余弦级数.x1y将则有o0d)1(2xx0dcos)1(2xnxx0222xx02sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn),2,1(k作偶周期延拓,数学分析33目录上页下页返回结束121xxcosx3cos312x5cos512说明:令x=0可得即41212)12(14kkxk)12cos(1yox数学分析34目录上页下页返回结束内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理)sincos(2)(10xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2,1,0(n),2,1(n注意:若为间断点,则级数收敛于2)()(00xfxf数学分析35目录上页下页返回结束2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数•奇函数正弦级数•偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法•作奇周期延拓,展开为正弦级数•作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习数学分析36目录上页下页返回结束处收敛