(文章)导数的计算举例

导数的计算举例导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应熟练掌握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点掌握复合函数的求导方法.学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。举例说明如下.例1求下列函数的导数（1）453223xxxy；（2）)23)(32(2xxy；（3）)11(32xxxxy；（4）y=tanx。解（1）566'2xxy；（2）6946)23)(32(232xxxxxy∴9818'2xxy或利用函数的积的求导法则：9818)32(3)23(4)'23)(32()23()'32('2222xxxxxxxxxy（3）111)11(232332xxxxxxxxy，∴3223'xxy（4）xxxycossintan，∴xxxxxxxxxxxy22222cos1cossincoscos)'(cossincos)'(sin)'cossin('.例2求下列函数的导数：.分析：从这两个函数的形式结构来看，都是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式.解：（1）（2）点评：（1）不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便，甚至错误，如（2）的求导形式较为复杂，用商的求导法则之后，还需通分化简.（2）先化简，再求导实施求导运算的基本方法，是化难为易、化繁为简的基本原则和策略．例3求下列函数的导数（1）2cos2sinxxxy；（2）4cos4sin44xxy；（3）xxxxy1111；（4）4cos212sin2xxy。解（1）xxxxxysin212cos2sin，∴xycos211'（2）4cos4sin24cos4sin4cos4sin2222244xxxxxxy2cos12112sin2112xxxcos4143，∴xysin41'（3）2141)1(21)1(1)1(22xxxxxxxy，∴22)1(4)1()'1(4'14'214'xxxxxy（4）14cos22sin4cos212sin22xxxxyxxxsin212cos2sin∴xycos21'.点拨对于较复杂的函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。例4利用导数求和：（1）；（2）。分析这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式1)'(nnnxx，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解（1）当x=1时，；当x≠1时，∵，两边都是关于x的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。例5如果函数f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值.分析可通过求导确定可疑点，注意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式，在判断y′的符号时，必须对a进行分类计论.解答y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0，∵x=±1是极值点，∴5a(±1)2－3b=0.又x2=0，∴可疑点为x=0，x=±1.若a0，y′=5ax2(x2－1).当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,＋∞)y′＋0－0－0＋y↗极大↘无极值↘极小↗由上表可知，当x=－1时，f(x)有极大值，当x=1时，f(x)有极小值.若a0时，同理可知a=－3，b=－5，c=2.点评运用待定系数法，从逆向思维出发，实现了问题由已知向未知的转化．在转化过程中，利用了列表，解决了待定系数的问题．