重力异常正反演问题

重力异常的正反演•1.重力异常的正演问题、反演问题；•2.均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重力异常正演方法，异常特征，反演方法；•3.密度界面的剩余密度的确定方法；•4.单一密度界面异常的特征及反演解释方法（近似解法、矩阵法）；•5.解复杂密度体正演问题的基本思想；•6.最优化选择法的基本思想；正演问题的定义：根据巳知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度分布，通过理沦计算，研究它们所引起的异常及其各阶导数异常的数值大小、空间分布和变化规律。反演问题的定义：（1）由观测上重力异常的分布，在给定物体边界位置函数的条件下，求解物体的密度分布函数；（物性反演）（2）由观测面上重力异常分布，在给定物体密度函数的条件下，求解物体的边界位置的数值；（几何反演）（3）由观测面上重力异常分布。在给定特殊约束（如设物体密度均匀、形态规则)条件下，求解物体密度参数和几何参数。给定的函数和特殊约束称为反演问题的定解条件。一、重力正、反问题的解法任意形体重力异常计算公式：3/2222()()()()VzdddgGxyz式中：G为万有引力常数，(x,y,z)为观测点P的坐标，V为地质体体积，Δσ为剩余密度，(ξ,η,ζ)为剩余质量元的坐标mddd什么是正问题与反问题？观测数据d地质模型m反问题：m=G-1d正问题：d=Gm（一）规则形体的正、反演问题为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀，地面水平，所取剖面为中心剖面规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状体……1、球体规则形体的正、反演问题近似于等轴状地质体，如盐丘、矿巢、溶洞等球体参数：半径30m，中心埋深20m，剩余密度2.0g/cm3，重力异常单位mGal-50-40-30-20-100102030405000.511.522.533.54x10-31、球体规则形体的正、反演问题ΔEΔgh0σσ0讨论：2max0max1/2020lim0;;0.766;xghmggGxhmhGP(x,0,0)2、水平圆柱体（线质量）02223/20()hdygGxyh小柱体元在P(x,0,0)点产生的重力异常为整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：002223/222002()hdygGhGxyhxh2、水平圆柱体规则形体的正、反演问题2、水平圆柱体规则形体的正、反演问题讨论：断层或不同岩层的接触带都可作为台阶处理o△h△σP(x,0)●hh112x221111222212(ln22)xhxxgGhxhtghtgxhhh由公式可见：当X→∞时，△g=2πG△σ△h△g=πG△σ△h△g=0当X→－∞时，当X=0时，2πG△σ△hπG△σ△h△h△σ23、垂直台阶规则形体的正、反演问题平面异常特征：等值线为一系列平行台阶走向的直线，在断面附近等值线最密，称为“重力梯级带”，且异常向台阶延伸方向单调增大。3、垂直台阶规则形体的正、反演问题o△h△σP(x,0)●x2πG△σ△hπG△σ△h当台阶倾斜时：由图可见：无论台阶产状如何，异常的形态相似，仅原点处的异常值不同。当台阶直立时：△g(0)=πG△σ△h当台阶面向台阶外侧倾斜时：△g(0)πG△σ△h当台阶面向台阶内侧倾斜时：△g(0)πG△σ△h二、不规则三度体的正演问题用一组垂直于y轴的平面和一组垂直于X轴的平面分别切割地质体，则任意两个平面的交线包合在地质体之内的部分形成一个线元。用解析式计算每一个线元在计算点产生的重力异常作用值。对所有钱元的作用值依次进行X方向和Y方向的数值积分，便得到整个地质体在计算点所产生的重力异常值。1、线元法2．面元法用一组垂直于z轴的平面或者垂直于X轴、y轴的平面切割地质体，地质体与平面相交形成一系列的裁面。近似地用一个多边形代替每一个截面，用解析表达式计算出计算点的重力作用值。将所有面的作用值用数值积分求得整个地质体产生的重力异常值。3．长方体元法用一组垂直于X轴的平面、一组垂直于y轴的平面和一组垂直于Z轴的平面切割地质体，于是地质体被划分成许多小长方体。用解析公式计算出每个小长方体在计算点所产生的重力异常值。最后，将所有长方体的重力异常值累加，以求得整个地质体在计算点的异常值。点元法“点元”法所取的各个点元的体积可以相同，也可不同。各个点元的物性可以相同，也可不同。通常是将勘探剖面之间的地质体用适当的长方体或立方体来近似，确定出各个点元的角点坐标，即可计算出该点元的三重积分值。对于一个点元而言，其计算公式如下：式中：对所有点元求和：MifFLkiji,2,11对L个点元有：从式(1.2.1)式的V0，V2，V3．V5的表达式可以看出，需要计算一系列带ln的项,然后求和，由于大量调用ln标准子程序会花费很多计算时间并影响计算精度，所以有必要作适当的简化。1、对计算ln项的简化利用：设：所以：按式（D.1）的形式累加起来，最后只需要求一次反正切函数，这样处理后，计算速度提高一倍以上。（D.1）1.2.2直立“线元”法某工区物探、勘探工作布置示意图1.2.2直立“线元”法线元剖分方案1.2.3“面元”法假设截面为垂直于X轴的YOZ平面，并设三重积分V0、V1、V2、V3、V4、V5、V6沿Y和Z方向的二重积分为：同样可以求出多边形其他各边与y轴围成的梯形面积的积分值，然后求它们的代数和，我们规定多边形角点的编号方向是沿顺时针方向增加的，有：同样可以计算出其他各边的三角形域二重积分值，将它们取代数和即为多边形截面KLMN……K的二重积分值：类似的做法可以求出其他各二重积分S2，S3，S4，S5，S6。分别如下上列式中各量表示如下：当二重积分求出以后，得到一组相互平行的截面上的S值，然后延X方向作数值积分，如果我们用抛物线公式（即辛普生积分公式），那么有：第三节密度分界面重力异常的正反问题一、密度界面的确定剩余密度σ＝σ1－σ2剩余密度σ‘＝σ2－σ1σ1σ2σ’＝σ2－σ1σ＝σ1－σ2以地面为起算点，逐层计算各密度界面的影响：1、T3界面：σ＝σ1－σ2；abcd2、T4界面：σ＝σ2－σ3；cdef3、T5界面：σ＝σ3－σ4；efghcdefgh二、多个密度分界面重力异常的计算1、计算这两个密度界面引起的重力异常(图7－31(a))相当于计算两个界面1S31(0.5)gcm2S32(0.3)gcm02SS01SS12SS2、计算这两个密度界面重力效应的方法是把间的密度层分为两层(图7－32)。31130.8gcm32230.3gcm在实际的地质条件下，常出现在某一地区缺失某个地层的情况，即出现“尖灭”现象，对于这种情况的重力异常，也不难计算。三、一个密度界面的正反演σ1σ2线性公式反演方法求S界面的深度对于A点在已知B点处深度HB时，就可计算出A点处的深度HA三维密度界面的快速正演方法原理单界面重力场的计算A以下全部物质对p点产生的重力场Δg为：0,,!,,1)0,,(nnhnhyxnGKyxg△ddhyx21222,（4-1）根据上式可较易地导出波数域中物性界面的位场异常正演公式的傅立叶变换式Δg:!10~2,~nnsnnhhsekvugg（4-2）式中22vuS其中nh~为界面A下物性参数ρ（ζ，η）与,nh函数（为(ζ,η)处的Δh值的n次幂）乘积的傅立叶变换。单一密度界面双密度界面双密度界面如果A界面下还有另一个界面'A存在，其下的为零，则A为物质ρ的顶界面，A’为底界面。设A’底平均深度为H，相对H的起伏为ΔH，如（图4-2），则（4-2）式可写成（4-3）式，表示A及A’界面共同产生的Δg：1!1~~2,~nnnsnhhSesHSehSekvugg!11~nnsnnHHSe（4-3）如果还有其他的物性层界面存在，则可仿照以上公式（4-3）进行迭加，以求多重界面的Δg。将Δg进行傅立叶变换，便得空间域的Δg(x,y,0)，即完成正演计算。1．反演问题的基本原理现假设已知重力场为△g（r0,z0），其频谱记为F[△g]，又假设已知密度函数ρ(r)的一个值为ρ(j-1)。由（4-6）式可知，由ρ(j-1)产生的重力场频谱为F[△g(j-1)]为)])()(([!)(21)1(1)1(nnunLjzknjrDHrDHFenkGgFc－（4-9）而已知场△g（r0,z0）的频谱F[△g]也可由（4-6）式来表示、将F[△g]与F[△g(j-1)]相减并经整理后可得))]()(())([(2][][)1()1(rDHrDHrFGegFgFuLjzkjc（4-10）式中△为剩余量。可用下式表示))]()(())([(!)()1(21rDHrDHrFnknunLjnn（4-11）（五）变密度多界面快速反演方法1．反演问题的基本原理现令:czkjuLjjGegFgFrDHrDHF2][][))]()(()[()1()1()((4-12)为密度函数的反演迭代格式．具体可写为]2][][[)()(1)1(1)1()(czkjuLjjGegFgFFrDHrDH(4-13)用相同的方法可得出密度体上、下界面z坐标和的反演公式．结合(4-13)式可给出一般的反演公式如下：]2][][[1)1(1)1()(czkjjjGegFgFFludDulDul(4-14)其中：)1(jDul表示第j－l次的迭代值，其理论重力场的频谱为][)1(jgF，可由前面介绍的正演方法求得；][gF表示已知重力场△g（r0,z0）的频谱；lud可用下式表示反演反演反演)()()()()()()(rhrrhrrrDHrDHludLuuL(4-15)六、矩阵法ivijijdvrzGCi3)(2222)()()(zyxrmiCgijmiii,,2,11dvrzGgv3)(hizhizLiyLiybixbixijijijijijijijijijyxrztgzrxyryxGC))(()()(])ln[()(])ln[()(11、模型的正演计算四矩阵法2.1.1特征点法利用观测曲线上的某些特殊点，如极值点、半极值点、拐点、零值点等来确定地质体的产状与参数。如特征点解析法，切线法等，其优点是简单快速，是野外物探中常用的方法；由于它只选用了几个特殊点，因而受这些点的精度影响很大，抗干扰能力差，而且它只适用于单个简单的地质体引起的规则光滑异常的计算。二重力异常反演方法评述2.1.3选择法它是将实测曲线与一系列的已知模型的理论曲线进行比较，当实测曲线与某一条理论曲线符合时，将该理论曲线对应的模型体作为实际的地质解释。它的优点在于利用了整个观测值，受个别被干扰所歪曲点的影响较小，因而较适用于复杂异常的解释。2.1.4最优化选择法最优化选择法就是将数学上求多参量的非线性函数极值的最优化方法，应用于选择法中，自动修改模型的参量以使模坠体的理论异常与实测异常最佳拟合，这时模型体的参量即作为实际地质体的解释。2.2最优化选择法数学原理2.2.1目标函数目标函数：2.2.2求非线性函数极小的迭代过程对于非线性问题，为了