学科素养专题9-圆锥曲线中韦达定理的整体应用

大一轮复习·数学·BSD（文）大一轮复习·数学·BSD（文）学科素养专题九圆锥曲线中韦达定理的整体应用大一轮复习·数学·BSD（文）应用一圆锥曲线上一点引两条弦问题由圆锥曲线上一点P引两条弦PA，PB，如果两弦的斜率的和或积为定值，要求证明直线AB的斜率为定值或者过定点问题，可以设出直线AB的方程，利用“1”的妙用构建两斜率有关的齐次方程，利用韦达定理求解．大一轮复习·数学·BSD（文）[典例1]设不过点P(0,1)的直线l与椭圆C：x24＋y2＝1交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为－1，证明：直线l过定点．证明：当直线l垂直于y轴时，直线PA与直线PB的斜率的和为0，不符合题意，故可设直线l的方程为x＝my＋n，直线l不过P(0,1)，故m＋n≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠0，x2≠0，大一轮复习·数学·BSD（文）则kPA＝y1－1x1，kPB＝y2－1x2.直线l的方程可改写为xm＋n－my－1m＋n＝1，椭圆C的方程可改写为x2＋4(y－1)2＋8(y－1)＝0，两者联立，可得x2＋4(y－1)2＋8(y－1)·xm＋n－my－1m＋n＝0，x≠0时，整理可得4n－4mm＋ny－1x2＋8m＋n·y－1x＋1＝0①大一轮复习·数学·BSD（文）若n＝m，则直线l与椭圆C的一个交点为(0，－1)，此时直线PA的斜率不存在，不符合题意，故n≠m，且kPA，kPB是以上二次方程①的两根，由韦达定理有kPA＋kPB＝－2n－m＝－1，于是n＝m＋2，则直线l的方程为x＝my＋m＋2，故直线l经过定点(2，－1)．大一轮复习·数学·BSD（文）[典例2]直线l交抛物线C：y2＝4x于A，B两点，点P(1,2)，如果直线PA的斜率和直线PB的斜率互为相反数，证明：直线l的斜率为定值．证明：显然直线l不与y轴垂直，可设其方程为x＝my＋n.直线l不过P(1,2)，则n－1＋2m≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠1，x2≠1，则kPA＝y1－2x1－1，kPB＝y2－2x2－1.大一轮复习·数学·BSD（文）直线l和抛物线C的方程可改写为x－1－my－2n－1＋2m＝1和(y－2)2＋4(y－2)＝4(x－1)，联立可得：(y－2)2＋4(y－2)·x－1－my－2n－1＋2m＝4(x－1)×x－1－my－2n－1＋2m.大一轮复习·数学·BSD（文）整理得n－1－2mn－1＋2m·y－2x－12＋4＋4mn－1＋2m·y－2x－1－4n－1＋2m＝0.由题意，n－1－2m≠0，且kPA，kPB是此二次方程的两根．又kPA＋kPB＝0，从而4＋4mn－1＋2m＝0，即m＝－1，故直线l的斜率为定值1m＝－1.大一轮复习·数学·BSD（文）应用二圆锥曲线外一点引两条切线问题圆锥曲线外一点向该曲线引两条切线，可以设出切线的点斜式方程，与圆锥曲线联立，由Δ＝0得到关于斜率的二次方程，由韦达定理解决切线斜率的和或积问题．大一轮复习·数学·BSD（文）[典例3]设R(x0，y0)是椭圆C：x224＋y212＝1上任意一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，切点分别为P，Q.若直线OP，OQ的斜率都存在，并分别记为k1，k2，求k1k2的值．解：直线OP的方程为y＝k1x.由于OP与圆R相切，则|k1x0－y0|1＋k21＝22，平方后整理得：(x20－8)k21－2x0y0k1＋y20－8＝0.同理，(x20－8)k22－2x0y0k2＋y20－8＝0.大一轮复习·数学·BSD（文）当x20－8＝0时，一条切线的斜率不存在，不符合题意，故x20－8≠0.于是k1，k2是二次方程(x20－8)k2－2x0y0k＋y20－8＝0的两异根，故k1k2＝y20－8x20－8＝y20－824－2y20－8＝－12.大一轮复习·数学·BSD（文）应用三共线线段比问题设P，Q是不在圆锥曲线上的两点，过P，Q两点的直线交圆锥曲线于A，B两点，满足PA→＝λ1AQ→，PB→＝λ2BQ→，可以考虑用韦达定理处理一些有关系数λ1，λ2的问题．大一轮复习·数学·BSD（文）[典例4]过椭圆C：x25＋y2＝1的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.若MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，求证：λ1＋λ2为定值．证明：由题意F(2,0)，设A，B，M的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(0，y0)．由MA→＝λ1AF→知x1＝2λ11＋λ1，y1＝y01＋λ1.又点A在椭圆x2＋5y2＝5上，则2λ11＋λ12＋5y01＋λ12＝5，大一轮复习·数学·BSD（文）整理得λ21＋10λ1＋5－5y20＝0.由MB→＝λ2BF→同理得λ22＋10λ2＋5－5y20＝0.由于A，B不重合，则λ1≠λ2，故λ1，λ2是二次方程λ2＋10λ＋5－5y20＝0的两根．由韦达定理可得λ1＋λ2＝－10，为定值．大一轮复习·数学·BSD（文）直线与圆锥曲线的关系以弦、切为主，通常是联立方程组形成二次方程等问题，集中考查了数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养，以及分析问题、解决问题的能力.大一轮复习·数学·BSD（文）