养老基金问题

《数学建模与计算》问题养老基金问题1.具体问题某大学年轻教师小李从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄一万元也一次性投入，已知月利率为0.01，每月存入300元，当他60岁退休时，他的退休基金有多少？若退休后他每月要从银行提取1000元，几年后他的退休金可以用完？2.解决方法根据题意建立数学模型:可用差分方程求解养老基金问题。2.1模型假设：整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。（1）设投保人到第k月止所交保费及收益的累计总额为Fk，（2）设r为每月收益率，（3）记p、q分别为60岁之前每月交费数和60岁之后每月领取数，（4）记N为停交保险费的月份，M为停领养老金的月份。模型建立：在整个过程中，离散变量Fk的变化规律满足：Fk+1=Fk（1+r）+p，k=0，1，…，N-1Fk+1=Fk（1+r）-q，k=N,…M2.2差分方程建模：在实际建立的查分方程模型时，往往要将变化过程或向量，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引用相应的变量或向量，然后通过适当的假设，根据食物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应阶段设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算和取最运算等）等式（可多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间这种量的关系等式，从2而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应该结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析，针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的，已知的若干量进行结合运算，取最运算等处理方式，目的是建立起简洁，深刻，易于求解分析的差分方程。1、差分算子设数列nx，定义差分算子nnnxxx1:为nx在n处的向前差分。而1nnnxxx为nx在n处的向后差分。以后我们都是指向前差分。可见nx是n的函数。从而可以进一步定义nx的差分：nnxx2)(称之为在n处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。类似可定义在n处的k阶差分为：))((1nknkxx2、差分算子、不变算子、平移算子记nnnnxIxxEx,1，称E为平移算子，I为不变算子。则有：nnnnxIEIxExx)(IE由上述关系可得：inkiikiknikiikiknknkxCxECxIEx00)1()1()(（1）这表明nx在n处的k阶差分由nx在knnn....1,，处的取值所线性决定。反之，由nnnxxx1得nnnxxx1：nnnnxxxx1222，得：nnnnxxxx2122,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k+1项增量的增量.第k层增量所构成。3,)1(10kninkiikiknkxxCx得：nkinkiikikknxxCx10)1(（2）可以看出：knx可以由nknnxxx,...,,的线性组合表示出来3、差分方程由nx以及它的差分所构成的方程),...,,,(1nknnnkxxxnfx（3）称之为k阶差分方程。由（1）式可知（3）式可化为),...,,,(11knnnknxxxnFx（4）故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列nx任意一项与其前，前面k项之间的关系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。我们经常用的差分方程的形式是（4）式。4、差分方程的解与有关概念（1）如果nx使k阶差分方程（4）对所有的n成立，则称nx为方程（4）的解。（2）如果xxn（x为常数）是（4）的解，即),...,,(xxnFx则称xxn为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基本意义是：设nx是（4）的解，考虑nx的变化性态，其中之一是极限状况，如果xxnnlim，则方程（4）两边取极限（x就存在在这里面），应当有),...,,(xxnFx（3）如果（4）的解nx使得xxn既不是最终正的，也不是最终负的，则称nx为关于平衡点x是振动解。（4）如果令：xxynn，则方程（4）会变成4),...,,(1knnknyynGy（5）则0y成为（5）的平衡点。（5）如果（5）的所有解是关于0y振动的，则称k阶差分方程（5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于0y非振动的，则称k阶差分方程（5）是非振动方程。（6）如果（5）有解ny，使得对任意大的yN有0nNnySupy则称ny为正则解。（即不会从某项后全为零）（7）如果方程（4）的解nx使得xxLimnn，则称nx为稳定解。，复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。复利计算的特点是：把上期未的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。复利的计算公式是：M=(p+m)*(1+i)^n其中：P=本金；i=利率；m=每月存的；n=月份第一月存款情况M1=（10000+300）×（0.01+1）=10403第二月存款情况M2=（10000+300）×（0.01+1）^2=10507.03第三月存款情况M3=（10000+300）×（0.01+1）^3=10612.1003依次利用公式求解，在30年后，即小李60岁时可得本息M=（10000+300）×（1+0.01）^360=3.7028e+0053.程序代码用Matble语言得到的程序a=10000+300b=1+0.01num=1fori=1:360num=num*b5endresult=a*numresult3.7028e+0054.结果分析当他60退休时退休金有约10年后用完（120.328月）