数值代数练习题2010

一、指出下列说法中哪些是不正确的,并说明理由。1.用两种数学上等价的计算公式,在同一计算机上计算的结果是相同的。2.对线性方程组,如果Jacobi迭代法收敛,则相应的Gauss-Seidel迭代法也收敛。3.求解法(正则)方程是求解最小二乘问题的有效算法。二、判断正误1、一个计算问题是否病态是计算问题本身固有的属性，与所使用的计算方法没有关系。2、在计算机上进行数值计算时，满足乘法的结合率。3、线性方程组系数矩阵对称正定时，Jacobi迭代法收敛。4、对于2个变量2个方程的方程组，当Jacobi迭代收敛时，Gauss-Seidel迭代收敛。5、一个算法是否数值稳定是算法本身的固有属性，与计算问题是否病态无关。6、在计算机上进行数值计算时，满足加法的结合率。7、线性方程组系数矩阵对称正定时，Gauss-Seidel迭代法收敛。8、对于2个变量2个方程的方程组，当Jacobi迭代发散时，Gauss-Seidel迭代收敛。三、简要回答下列问题：1.对线性方程组,如果Gauss-Seidel迭代收敛,则Jacobi迭代一定收敛吗？2.用数值方法解决实际问题时,必须考虑哪四种误差?3.说明求解特征值的两步平移法的好处？4.叙述矩阵广义逆的定义，指出矩阵广义逆的一个应用。5.误差可以分成几类？6.同一种数值方法是否可以有多种实现方法?效果是相同的吗?7.为什么说把数据输入计算机的过程中舍入误差几乎难免?8.什么是矩阵的谱半径？请说明，在数值分析中，矩阵的谱半径有用。9.在计算机上计算)arcsin(22yxx何时会遇到困难?10.为什么在数值计算过程中尽量避开绝对值很小的数做分母？11.在机器数集合上，标准浮点加法是否满足结合律？为什么？12.在数值计算过程中为什么要尽量避开相近数相减？13.对于2阶线性方程组，Jacobi迭代和Seidel迭代矩阵谱半径之间有何关系？14.用数值方法解决实际问题时,为什么应该进行扰动分析?15.在计算机上计算20062007时，应该如何计算?16.说明求解特征值的两步平移法的好处。四、范数理论1、证明（1）xnxx1（2）xnxx2（3）212xnxx2、设mnAC，证明（1）22211maxHxyAyAx（2）对于任意酉阵mmUC和nnVC有22UAVA3、证明Frobenius范数的下述性质（1）FFUAVA；（2）2FFABBA；2FFABAB4、设是nnR上由向量范数诱导的算子范数，证明，如果A是nnR上的可逆阵，那么11()1min()xAAx5、设矩阵210121012A，计算12(A)AAA、、、6、nnRA,证明:)(max2AAAT是算子范数。7、nnRA,证明:njijniaA11||max是算子范数。8、若A和EA都是非奇异的，证明.)()(1111EAAEAEA9、设为nR上的一个向量范数，nnRA且为可逆矩阵,对任意的nxR，定义AxAx，则Ax也为nR上的一种向量范数。五、初等变换、矩阵分解1.对a，bnR，当22ba时，则一定存在Householder变换H使.bHa2.（1）已知向量)6,2,3,1(x，请给出一个镜面反射矩阵H，把x的后二个分量化为零。（2）已知向量)0,4,3,1(x，请给出一个Householder矩阵H，使Hx的后两个分量为0。3.已知向量12(,,,,)0nknkxxxxxRx，，请给出一个Gauss消元矩阵L，使1L(,,,0,0)Tkxxx。4.(2,4,2,1),(2,4,0,0).TTxGaussLLx已知向量求一变换阵使,5.A是严格对角占优矩阵，证明：A一定存在LU分解。6.已知A的QR分解，如何计算增加一行的新矩阵的QR分解？7．求矩阵A部分主元LU分解21104331A87956798。8.任一方阵都正交相似于一个上-Hessenberg阵TAQHQ,若H不可约，则Q、H由A及1Qe确定.P36.4.5.7.8.10P971.2.3.4.六、方程组1、设线性方程组123411614.252.750.5,12.753.51.25xxx(1).试写出系数矩阵TLLA的Cholesky分解,其中为下三角矩阵;(2).用Cholesky分解方法求解此线性方程组。2、用不选主元的直接LU三角分解法，求解方程组,并求出)det(A：1321624171934337925324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx3、用不选主元的直接LU三角分解法，求解方程组并求)det(A：224453231443243214321421xxxxxxxxxxxxxx4、设A是对称正定三对角阵，请设计一种方法用于求解bAx。5、假设,nnRB且1B,试证:(1).矩阵BI是可逆的,且(2).BBI11)(1(3).BBBII1)(1(其中是算子范数)6、A是严格对角占优矩阵，证明：Gauss-Seidel迭代法收敛。7、证明:A为严格对角占优阵,则Jacobi迭代求解bAx必收敛。8、（1）试说明：求解线性方程组bAx的G-S迭代法可以写成)()()()1(bAxHxxkkk其中H是与k无关的某个矩阵。（2）试说明：求解线性方程组bAx的Jacobi迭代法可以写成)()()()1(bAxHxxkkk其中H是与k无关的某个矩阵。9、设线性方程组,321261114522321xxx判断Gauss-Seidel迭代法敛散性。10、线性方程组bxaa1001001，1）a为何值时，系数矩阵是正定的？2）a为何值时，Jacobi迭代收敛？3）a为何值时，Gauss-Seidel迭代收敛？11、设1A11aaaaaa＝，其中a为实数，问：（1）a取何值时A是正定的？（2）对于哪些A，Jacobi迭代收敛？（3）对于哪些A，GS迭代收敛？12、、对线性方程组111211212222aaxbaaxb，当11220aa时，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，证明这两种方法要么同时收敛，要么同时发散。七、最小二乘与广义逆1、A是列满秩矩阵，证明：法方程组bAAxATT的解为2minbAxx的解。2、法方程组bAAxATT与2minbAxx同解。3、证明：bAx为2minbAxx的最小范数解。4、试说明最小二乘问题与广义逆的关系。5、设131112000,110001Ab（1）求A（2）求2minxAxb的通解八、特征值1、证明：实方阵的复特征值（虚部不为零）对应的特征向量的实部与虚部必线性无关2、试用Givens旋转求上Hessenberg阵的QR分解，并分析运算量。3、设A是三对角矩阵，对A进行QR迭代产生的序列}{kA有何形状？4证明对称矩阵的奇异值正好是其特征值的绝对值。5、设nnRA为非奇异矩阵，其QR分解为AQR，其中Q为nn的正交阵，R为nn的上三角阵，令ARQ，证明：（1）若A为对称阵，则A也为对称矩阵；（2）若A为上-Hessenberg阵，则A和Q也为上-Hessenberg阵。