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第三讲薄壁箱梁弯的曲应剪力现代工程结构广泛使用薄壁结构，特别是桥梁工程，从特大跨径的悬索桥、大跨径斜拉桥，到中小跨径的连续梁桥，甚至简支梁桥等，多采用箱形截面的薄壁结构或桁架形式的薄壁杆件。如杭州湾跨海大桥，建设方采用设计施工总承包的招标方式，各投标单位均采用了钢箱梁斜拉桥和箱形截面混凝土连续梁桥形式。1、悬索桥：主要有美国式和英国式两种形式悬索桥。美国式悬索桥采用钢桁架加劲梁（如GoldenGatebridge，Verrazanobridge，日本的明石海峡大桥等）；英国式悬索桥采用钢箱梁（如Severnbridge，Humberbridge，我国的江阴长江大桥，在建的润扬长江大桥南汊桥等）。2、斜拉桥：主梁多采用预应力混凝土或钢结构箱形截面。如日本多多罗大桥、南京长江二桥、等采用钢箱梁；而钱江三桥、招宝山大桥等采用预应力混凝土箱形梁。3、悬壁梁桥、T型刚构桥、连续梁桥：多采用预应力混凝土箱梁作主梁。如虎门大桥辅航道桥、南京长江二桥北汊桥、钱江二桥、钱江五桥、钱江六桥等。薄壁杆件在弯扭变形时，其正应力和剪应力分布及大小与通常的实体截面杆件差别很大，且开口截面与闭合截面杆件在相同受力情况下其正应力和剪应力也大不相同。因此，有必要对开口截面和闭合截面杆件分别加以讨论。第一节坐标系的建立薄壁杆件分析中，常取杆件的中面（到两纵向表面距离相等的面）来表示杆件，取横截面的中线表示横截面。xyz应用的坐标系有两种，如图3-1所示。其一是以截面某一特定点为原点（如形心）的固定坐标系，取杆件轴线为轴，坐标轴正向符合右手法则；或者为了运算方便，采用曲线坐标，即在截面上选定一原点o，以自原点o量取的截面中线（曲线）长为坐标量值，取逆时针方向为正，于是截面上任意点zsp的位置可表示为或。),,(zyxp),(zsp动坐标系，z轴平行于杆件轴线，τ其二是以截面上任意点为原点的pzpnτ为点处截面中线的切线，为相应的外法线，三者之间也符合右手法则。pnxzyxynτ图3-1二种形式坐标系s),(zspoo第二节薄壁杆件弯曲基本假定薄壁杆件尺寸限制：杆件的宽度与长度之比（）和壁厚与宽度之比（）均小于（或等于）0.1。ld/dt/薄壁杆件弯曲分析中采用以下基本假定：1、平面假定。即假定杆件变形后横截面仍保持为平面，据此，截面上任一点的纵向应变为：),(yxPcybxayx++==),(εε（3-1）式中。、、为待定常数。acb2、线性假定。即应力与应变呈线性关系，满足虎克定律。εσE=γτG=（3-2）、G为弹性常数。将式（3-1）代入上式便有：E其中)(cybxaE++=σ（3-3）表明杆件横截面上的正应力也呈线性分布。3、小变形假定。即忽略杆件变形引起的二次力的影响，与假定“2”相联系，表明本书的讨论限干线弹性分析，因此适用叠加原理。4、假定弯曲剪应力沿壁厚均匀分布。据此，单位周边中线长度上的剪力流可用剪应力),(szq),(szτ与壁厚的乘积来表示。即)(sttqτ=),(szq=),(szτ)(st或：（3-4）在研究弯曲变形时，假定无扭矩作用，且轴向力沿杆轴无变化（=常数）或等于零。N第三节不考虑剪力滞弯曲正应力及惯性主轴一、弯曲正应力取截面形心C为原点，建立xyz坐标系如图3-2所示，现以静力学条件确定式（3-1）中的待定常数、b、。acAdσvy,zux,s0ss=OPBxMyMNsdzdtτssd∂∂+ττdzz∂∂+σσσ图3-2)ddd(d0)ddd(d0)ddd(d022∫∫∫∑∫∑∫∫∫∫∫∫∫∑∫++===++===++===AAAAyyAAAAxxAAAAAxycAxbAxaEAxMmAycAxybAyaEAYMmAycAxbAaEANzσσσ（3-5）上述各式中的积分仅与截面形状和尺寸有关，分别表示截面的几何特性。其中：AAA=∫d截面积xASAy=∫dx截面对轴的静矩yASAx=∫dy截面对轴的静矩xAIAy=∫d2x截面对轴的惯性矩（3-6）yAIAx=∫d2截面对轴的惯性矩yxyAIAxy=∫dxy截面对轴的惯性矩注意到坐标系以截面形心为原点，因此有，。将以上各式代入式（3-5），解方程组得：0d==∫xASAy0d==∫yASAx)()(22xyyxxyyyxxyyxxyxxyIIIEIMIMcIIIEIMIMbEANa−−=−−==（3-7）式（3-7）代入式（3-3），有：yIIIIMIMxIIIIMIMANxyyxxyyyxxyyxxyxxy22−−+−−+=σ（3-8）为分别表达、的作用，上式可改写为：xMyMyxyyxxyxxxyyxxyyMIIIyIxIMIIIxIyIAN22−−+−−+=σ（3-9）二、几种特例1、=0NyIIIIMIMxIIIIMIMxyyxxyyyxxyyxxyxxy22−−+−−=σ（3-10）或yxyyxxyxxxyyxxyyMIIIyIxIMIIIxIyI22−−+−−=σ（3-11）σ=0，则得到、的作用下的中性轴方程：xMyM令式（3-10）中xIMIMIMIMyxyyyxxyxxy−−−=（3-12）0≠xM2、仅有竖向弯矩作用时，、=0，yMxxyyxxyyMIIIxIyI2−−=σ（3-13）3、同理当0≠yM、=0时xMyxyyxxyxMIIIyIxI2−−=σ（3-14）可见，一般情况下，作用在平面的弯矩产生的弯曲正应力不仅与有关，同时也与xMyzyx有关。即正应力不对称于轴。可以证明其挠曲线为一空间曲线，不仅有平面的弯曲变形，而且也有yyzxz平面的弯曲变形。因此称为非对称弯曲或广义弯曲。（三）惯性主轴x如果、y轴的选择使得截面对其惯性积为零时，则正应力公式（3-9）简化为人们熟知的偏心受压（受拉）公式。即xyIxIMyIMANyyxx++=σ（3-15）x、称为惯性主轴，简称主轴。通过截面形心的主轴，称为形心主轴。y此时，坐标轴显然，形心主轴可根据I=0确定。对于任一截面，经过截面形心C选一参考坐标系Cx设形心主轴与该参考坐标系间的夹角为xy任，11yx1x1yyα图3-3Cα（逆时针转为正），根据坐标转换关系有：ααααcossinsincos1111yxyyxx+−=+=（3-16）代入=0，化简后得到：xyAIAxy=∫d11112tg2xyyxIII−=α（3-17）这样就求得了形心主轴相对于参考坐标系的夹角α，即确定了形心主轴，此后的计算，便可基于形心主轴，按简化公式（3-15）进行计算。xy轴，则截面的对称轴就是形心主轴。工程实际中常采用对称截面，若以对称轴为x注意：只有当、y轴为形心主轴（对称轴为特例）时，平面弯曲公式（3-15）才适用，否则应采用广义弯曲公式（3-9）计算，平面弯曲与广义弯曲二者不可混淆。第四节开口薄壁杆件的弯曲剪应力及剪力中心一、弯曲剪应力观察图3-2薄壁单元的平衡，根据本章假定“4”，引入剪力流表达式（3-4）后，由，可得0=∑z0dd)d(dd)d(=−∂∂++−∂∂+zqzssqqststzzσσσ（3-18）0dddd=∂∂+∂∂zssqsztzσ，则得到正应力与剪力流间的关系方程：即：0=∂∂+∂∂ztsqσ（3-19）将其移项后积分得：00dqsztqs+∂∂−=∫σ（3-20）式中为积分常数，其物理含义为曲线坐标=0点处的初始剪力流（见图3-2）。对于开口薄壁截面，当取自由边缘作为=0点时，便有=0，这时开口截面弯曲剪力流公式可简化为：s0qs0q∫∂∂−=ssztq0dσ（3-21）将正应力一般表达式（3-8）代入式（3-20），注意到截面几何特性的定义并引用弯短、剪力间的微分关系便有：0,,=∂∂∂∂=∂∂=zNzMQzMQyxxy（假定=常数）（3-22）N则开口薄壁截面的弯曲剪力流表达式为：xxyyxxxyyxyxyyxyxyxyQIIISISIQIIISISIq⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=22（3-23）注：式（3-23）推导如下：由式（3-9）得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−+−−+∂∂=∂∂yxyyxxyxxxyyxxyyMIIIyIxIMIIIxIyIANzz22σ（A）注意到式（3-22），（A）式成为xxyyxxyxyxyyxxyyQIIIyIxIQIIIxIyIz22−−+−−=∂∂σ（B）将式（B）代入式（3-21）得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−+−−−=∫∫∫∫∫xsxysxysxysyxyyxsxxyyxxyxyxyyxxyyQsytIsxtIQsxtIsytIIIIstQIIIyIxIQIIIxIyIq00002022dddd1d（C）由定义：，代入式（C）即得到式（23）。ysxsSsxtSsyt==∫∫00d,d讨论：x0=xyI（1）当、轴为截面主轴时，y，则式（3-23）可简化为xyyyxxQISQISq−−=（3-24）x0=xQ（2）式（3-23）中先后令0=yQ及，则得到由、方向剪力及引起的剪力流。xQyQyxxyyxxxyyxxQIIISISIQq⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=2)(yxyyxyxyxyyQIIISISIQq⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=2)(,（3-25）1=yQq（3）若以1=xQq表示=1及=1单独作用时的剪力流，则：xQyQ和⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−===2121xyyxyxyxyQxyyxxxyyxQIIISISIqIIISISIqyx（3-26）显然11)()(====yxQyyQxxqQQqqQQq（3-27）二、剪力中心薄壁（杆件）截面剪力流的合力（，）作用点称为剪力中心。各截面剪力中心的连线称为剪力中心线。对于等截面直杆，它为与杆轴线平行的直线。当横向力作用于剪力中心线上时，由剪力中心的定义可知，该横向力产生的弯曲剪应力的合力将与此横向力相应的截面剪力平衡，杆件仅发生弯曲而无扭转（xQ),(00yxSyQx和方向的位移、v不等于零，扭转角uyϕ=0），因此剪力中心又称为弯曲中心。本章研究的薄壁杆件弯曲问题，就是指在通过剪力中心线的横向荷载作用下的“只弯不扭”问题。根据位移互等定理（见图3-4a），当杆件仅承受扭矩作用时，其横截面只产生绕剪力中心的转动（≠ϕ0），而剪力中心处无横向位移（u=v=0），即“只扭不弯”，此时剪力中心线为杆件扭转变形的转动轴线，故截面的剪力中心也称扭转中心。suvxQyQxyxyφTM(a)(b)图3-4xyssd0ss=BcρCOPsxQyQs0x0y在薄壁杆件分析中，常取剪力中心线为xyz坐标系的纵向坐标轴，其后将截面内力分解到坐标轴上，即以、、以及、、来表示，这样就将问题分解为平面弯曲与纯扭转的组合，分别按“只弯不扭”和“只扭不弯”计算，而后叠加。zzMzNxMxQyMyQ现讨论剪力中心的计算。如图3-4b所示开口薄壁截面，先取以形心为原点的参考坐标系Cxyz，设截面的剪力中心为，以和分别表示和单独作用引起的剪力流，根据剪力中心的定义知，、作用点应满足（合力矩定理）条件C),(00yxS)(xQqxQ)(yQqyQxQ),(00yxSyQ∫∫==000000d)(d)(scxxscyysQqyQsQqxQρρ式中为截面中线全长，0Scρ为截面形心C至截面上任一点的切线的距离，将剪力流表达式（3-26）引入便有：P∫∫===−=00010010ddscQscQsqysqxxyρρ（3-28）再将式（3-26）代入得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=∫∫∫∫000000200020dd1dd1ScxxyScyxxyyxScyxyScxyxyyxsSIsSIIIIysSIsSIIIIxρρρρ（3-29）现定义：sccddρω=，则：（3-30-1）∫=00dSccsρω并定义：（3-30-2）∫∫==0000d,dScyScxsytIsxtIωωωωcω表示截面上任一点P的曲线坐标与点（称极点）组成的扇性面积（）的二倍。当点与点一定时，P点的位置由SCCOPCOxIωcωcω唯一确定，故称为点的扇性坐标，而P及则称为截