1.4三角函数的图像与性质

1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象复习请回忆函数的定义.1．三角函数的定义对个实数对应这个对应个实数对应这对应则关个数关为称为数每一x都惟一确定的角度，确定的角度又惟一确定的正弦值sinx（或余弦值cosx），即每一x都有唯一确定的值sinx（或cosx）与之，按一法建立的系是一函系，表示y=sinx（或y=cosx），正弦函（或余弦函）.数2.利用单位圆中正弦线作正弦函数图象忆单圆线线（1）回位中的正弦和余弦；(2)观看利用单位圆中正弦线作正弦函数图象课件组讨论单圆线线随变变规归纳总结（3）分小在位中正弦和余弦在角x化而化的律，并。归纳作正弦函数时的心得：300(2,0)(,0)(,1)(,1)22点（，），，，，；1、先确定五线连线弯2、再用光滑曲接，注意曲曲特征；3、通过图象平移得到其它范围上的图象.我们经有了正弦函数y=sinx的图象，如何得到余弦函数y=cosx的图象？，，向左平移2个单位小结：比较这两种方法，第二种方法不仅简单，而且在此方法上我们可以得到许多与正弦函数有关的函数的图象.方法二向左平移单位2方法一列表描点法例题例1：用五点法作出下列图象（1）y=sinxx[0，2]1）列表：自变量函数值xy00210203212322点图2)描作2sin1[0,2]yxx（），自变量函数值xsinxy0223201001121011）列表：y1O2322x点图2)描作小结（1）正弦函数和余弦函数的定义（2）单位圆中的正弦线和余弦线（3）正弦函数和余弦函数的图象及其作法，简单的图象特征（4）函数图象平移中的方法及注意点作业。课本P34练习1、2、31.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1）思考（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x函数值sinx322023222010101001––23023yx如图所示：1．正弦函数的性质语数规断文字言：正弦函值按照一定的律不重复地取得；号语当时总符言：x增加2kπ（kZ），有f(x+2kπ)=sin(x+2kπ)=sinx=f(x).  当变时数现对义内（1）自量x增加2kπ，正弦函的值又重复出；（2）于定域的任意x，sin(x+2kπ)=sinx恒成立。归纳余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性.周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(X)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.说须数为对数来说须对义内明：（1）T必是常，且不零；（2）周期函f(x+T)=f(x)必定域的任意x都成立。思考对数说（1）于函y=sinx，xR有π2ππ2πsin(+)=sin，能否是它的周期？6363数数（2）正弦函y=sinx，xR是不是周期函，如果是，周期是多少？数为则吗为*（3）若函f(x)的周期T，kT，kZ也是f(x)的周期？什么？最小正周期的定义注意：们现谈数时别说（1）我在到三角函周期，如果不加特明，一般都是指的最小正周期；从图为（2）象上可以看出y=sinx，xR；y=cosx，xR的最小正周期2π；（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？例题13cos2sin2132sin()26yxxRyxxRyxxR数（），；（），；（），．例1：求下列函周期：变数现数解析：（1）∵3cos(x+2π)=3cosx，∴自量x只要并且至少要增加到x+2π，函y=3cosx，xR的值才能重复出，所以，函y=3cosx，xR的周期是2π．变数现数（2）∵sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x，∴自量x只要并且至少要增加到x+π，函y=sin2x，xR的值才能重复出，所以，函y=sin2x，xR的周期是π．变数现数1π（3）∵2sin(x-+2π)261π1π=2sin[(x+π)-]=2sin(x-)，2626∴自量x只要并且至少要增加到x+π，函y=sin2x，xR的值才能重复出，所以，函y=sin2x，xR的周期是π．思考①②③则这个数若ω0，例如：y=3cos(-x)，xR；y=sin(-2x)，xR；1πy=2sin(-x-)，xR．26三函的周期又是什么？数数结论函y=Asin(ωx+φ)及函2πy=Acos(ωx+φ)，xR一般：的周期T=．|ω|例2：求下列函数的周期：4222练习求下列函数的周期：1sin32cos333sin4yxxRxyxRxyxR（），；（），；（），；23684sin()105cos(2)3163sin()24yxxRyxxRyxxR（），；（），；（），．24小结数义数1.周期函、最小正周期的定；2.y=Asin(ωx+φ)型函的周期的求法。作业。课本P36练习1、2、31.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）复习（1）什么是周期函数？数数（2）函y=Asin(ωx+φ)及函y=Acos(ωx+φ)，xR的周期是什么？（其中ω0）正、余弦函数的奇偶性：在诱导公式中，sinsincoscosxxxx，为数为数y=sinxR上的奇函；y=cosxR上的偶函.故：例题sincos;cossinsincoscos.1sinfxxxfxxxfxxxxfxx断数（1）（2）；（3）；（4）例1：判下列函的奇偶性数变换为断解析：1xR,f-x=sin-xcos-x=-sinxcosx=-fx,1奇函（;或者fx=sin2x再判）2数2xR,fx=cos-x-sin-x=cosx-sinx=fx,偶函;32sin,4,2,04444444fxxxffffff取且，数非奇非偶函;虑义关点对称数（4）考定域，3π1+sinx≠0x≠2kπ+kZ2于原不，非奇非偶函.注意：判断奇偶性先要考虑定义域.递减区间1π3例2：（1）求y=sin4x-+的;234递减区间为解析：ππ3π（1）2kπ+4x-2kπ+232kπ5πkπ11π+x+kZ224224kπ5πkπ11π所以+,+kZ;22422423sin2;3yx（）求的递减区间递减区间为递区间递减区间为ππ解析：y=3sin-2x=-3sin2x-，33π其t=3sin2x-的增，3ππππ5π故2kπ-2x-2kπ+kπ-xkπ+2321212π5π所以kπ-,kπ+k;121Z2.递减区间π（3）求y=cos-2x的3  递减区间为ππ2π2kπ2x-2kπ+ππ解析：y=cos-2xπkπ+xkπ+363π2πkπ+=c,kπ+kZ63os2x-，33故，所以.数递递减区间2例3：求函y=23sinxcosx-2sinx的增、.  数递区间为2y=23sinxcosx-2sinxπ=3sin2x+cos2x-1=2sin2x+-16πππππ2kπ-2x+2kπ+kπ-xkπ+，26236ππkπ-,kπ+kZ36解析:,由所以函的增; 递减区间为ππ3ππ2π2kπ+2x+2kπ+kπ+xkπ+26263π2πkπ+,kπ+由,所以kZ63.小结数数单调区间（1）正、余弦函的奇偶性；（2）正、余弦函的作业。课本P40练习4、5、6；P46习题1.4A组3、4、51.4.2正弦函数、余弦函数的性质（3）复习忆数忆数单调区间（1）回正余弦函的奇偶性；（2）回正余弦函的.回忆正、余弦函数的值域：sin1,1yx当时当时πx=2kπ+,kZ，y=sinx有最大值，最大值是1；23πx=2kπ+,kZ，y=sinx有最小值，最小值是-1；2cos1,1yx例题数例1：求函y=sinx+cosx的值域。数π解析：y=sinx+cosx=2sin(x+)，4ππ∵-1sin(x+)1，∴-22sin(x+)2，44所以，函y=sinx+cosx的值域是[-2,2]．数例2：求函y=3cosx-sinx的值域。数为31π解析：y=3cosx-sinx=2(cosx-sinx)=-2sin(x-)，223ππ∵-1sin(x-)1∴-2-2sin(x-)2，33所以，函y=3cosx-sinx的值域[-2,2]．变题条则结2π4π式：若把本再加上x[,]的件，33果又如何？复习-20-2,0则2222解析：y=3-4sinx-4cosx=14sinx-4sinx-1=4(sinx-)-2，2令t=sinx，-1t1，1∴y=4(t-)-2（-1t1），2当时当时minmax1π5π∴t=，即x=+2kπ或x=+2kπ（kZ），266y=-2，3πt=-1，即x=+2kπ（kZ），y=7．2则2解析：令sinx+cosx=t，t-1sinx×cosx=，2π又∵t=sinx+cosx=2sin(x+)，4∴-2t2，当时当时数为min2maxt=-1，y=-1，111t=2，y=×(2)+2-=+2，222所以，函y=sinx+cosx+sinx×cosx的值域[-1,2+2]． 当时①当时②maxmin解析：y=a-bcos3x（b0）3cos3x=-1，y=a+b=，21cos3x=1，y=a-b=-，2  ①②当时当时maxmin1a=由得，2b=11∴y=-4××sin3x=-2sin3x，2所以，sin3x=-1，y=2，sin3x=1，y=-2．数义数2例6：已知函y=2asinx-acos2x+a+b的π定域是[0,]，值域是[-5,1]，求常a,b．2则当时数当时数若a0，cos2x=-1函取得最大值1，cos2x=1函取得最小值-5，34a+b=1a=∴，解得：，2b=-5b=-5小555大115123小结作业。课本P40练习2、3；P46习题1.4A组21.4.3正切函数的性质与图象复习回忆正弦曲线是怎样画的？数义1．正切函y=tanx的定域是什么？|,2xxkkz数数2．正切函是不是周期函？22xy作正切函数y=tanx在的图象2,2 说数数明：（1）正切函的最小正周期不能比π小，正切函的最小正周期是π；数图扩数图称线（2）根据正切函的周期性，把上述象向左、右展，得到正切函y=tanx，xRπ且x≠+kπkZ的象，“正切曲”。2正切函数的性质（1）定义域：zkkxx,2|（2）值域：R（3）周期性：T（4）奇偶性：奇函数（5）单调性：思考,4xxkkZ例题1tan3;32tan;243tan0.yxyxyx数例1：求下列函的周期：1tan3tan3tan333;3fxxxxfxT解析：332tantan2424322tan23432;3fxxxxfxT3tantantan.fxxxxfxT