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第1页，共14页2020年上海市浦东新区高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A.B.C.D.2.点P（2，0）到直线，（t为参数，t∈R）的距离为（）A.B.C.D.3.已知点P（x，y）满足约束条件：，则目标函数z=x-y的最小值为（）A.40B.-40C.30D.-304.已知f（x）=a|x-b|+c，则对任意非零实数a，b，c，m，方程mf2（x）+nf（x）+t=0的解集不可能为（）A.{2019}B.{2018，2019}C.{1，2，2018，2019}D.{1，9，81，729}二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若集合A={x|x＞5}，集合B={x|x≤7}，则A∩B=______．6.若行列式，则x=______．7.复数的虚部为______（其中i为虚数单位）．8.平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作______个三角形（结果用数值表示）．9.如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的______倍．10.已知函数f（x）=sin2(x+φ)（φ＞0）是偶函数，则φ的最小值是______．11.焦点在x轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为______．12.已知无穷数列{an}满足an=，则=______．13.二项式展开式的常数项为第______项．第2页，共14页14.已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为______（精确到小数点后一位）15.已知正方形ABCD边长为8，，若在正方形边上恰有6个不同的点P，使，则λ的取值范围为______．16.已知f（x）=2x2+2x+b是定义在[-1，0]上的函数，若f[f（x）]≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x0满足：f[f（x0）]=x0且f（x0）≠x0，则实数b的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AC=2，延长CB至D，使CB=BD．（1）求证：CA⊥DA1；（2）求二面角B1-AD-C的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知向量，，其中ω＞0，若函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若f（B）=-2，，，求的值．19.浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没有经过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假定地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为R=700万米）的中心F为右焦点的椭圆C，已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，第3页，共14页远木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．（1）求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；（2）在地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半袖、短半袖的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L，称该直线的斜率k为“变轨系数”，求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞（精确到小数点后一位）20.已知各项均为不为零的数列{an}满足a1=1，前n项的和为Sn，且，数列{bn}满足．（1）求a2，a3；（2）求S2019；（3）已知等式对1≤k≤n，k，n∈N*成立，请用该结论求有穷数列，的前n项和Tn．21.已知函数y=f（x）的定义域D，值域为A．（1）下列哪个函数满足值域为R，且单调递增？（不必说明理由）第4页，共14页①，②．（2）已知，函数f[g（x）]的值域A=[-1，0]，试求出满足条件的函数f[g（x）]一个定义域D；（3）若D=A=R，且对任意的x，y∈R，有|f（x-y）|=|f（x）-f（y）|，证明：f（x+y）=f（x）+f（y）．第5页，共14页--------答案与解析--------1.答案：B解析：解：该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，根据正视的方向，有一条可以看到的水平棱（实线），故选：B．从原图的构特征分析，即可得出该几何体的俯视图．本题考查了空间几何体的三视图，属于基础题．2.答案：D解析：解：由消去参数t可得3x-4y+5=0，根据点到直线的距离公式可得d==．故选：D．先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3.答案：B解析：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y，得y=x-z表示，斜率为1纵截距为-z的一组平行直线，解得A（0，40）平移直线y=x-z，当直线y=x-z经过点A时，和直线x-y=0平行时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，此时zmin=-40．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．4.答案：D解析：解：因为f（x）=a|x-b|+c，则y=f（x）的图象关于直线x=b对称，设y=f（x），设方程my2+ny+t=0的解为y1，y2，则必有y1=a|x-b|+c，y2=a|x-b|+c，由于y=y1，y=y2是平行与x轴的直线，即直线y=y1，y=y2与函数y=f（x）的交点关于对称轴x=b对称，对于选项A，对称轴方程可以为x=2019，对于选项B，对称轴方程可以为x==，第6页，共14页对于选项C，对称轴方程可以为x===1010，对于选项D，，即y=f（x）的图象不是轴对称图形，故选：D．由函数图象的对称性及复合方程的解得：对于选项A，对称轴方程可以为x=2019，对于选项B，对称轴方程可以为x==，对于选项C，对称轴方程可以为x===1010，对于选项D，，即y=f（x）的图象不是轴对称图形，得解本题考查了函数图象的对称性及复合方程求解，属中档题5.答案：（5，7]解析：解：∵A={x|x＞5}，B={x|x≤7}；∴A∩B=（5，7]．故答案为：（5，7]．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．6.答案：3解析：解：∵行列式，∴2×2x-1-8=0，解得x=3．故答案为：3．利用行列式的展开法则直接求解．本题考查实数值的求法，考查行列式的展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：-1解析：解：∵=，∴的虚部为-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8.答案：220解析：解：根据题意，在12个点中，任取3个，有C123==220种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形；故答案为：220．根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可第7页，共14页得答案．本题考查组合数公式的应用，注意“任何3点不在同一直线上”的条件．9.答案：解析：解：设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积V=πr2h，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，则体积V′=πR2h，由，得R2=5r2，则R=．∴它的底面半径应该扩大为原来的倍．故答案为：．设圆柱的高为h，底面半径为r，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．10.答案：解析：【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系求出φ的表达式即可，为基础题．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出φ的表达式是解决本题的关键．【解答】解：f（x）=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ）是偶函数，则2φ=+kπ，k∈Z，即φ=+，k∈Z，当k=0时，φ取得最小值，为，故答案为：．11.答案：．解析：解：焦点在x轴上，焦距为6，c=3；且经过点可得a=，双曲线的标准方程为：．故答案为：．利用已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：0第8页，共14页解析：解：无穷数列{an}满足an=，==0．故答案为：0．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．13.答案：4解析：解：由二项式展开式的通项公式得：Tr+1=（2x）6-r（-）r=（-1）r26-2rx6-2r，当6-2r=0，即r=3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．由二项式展开式的通项公式得：Tr+1=（2x）6-r（-）r=（-1）r26-2rx6-2r，当6-2r=0，即r=3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，得解．本题考查了二项式展开式的通项，属中档题．14.答案：12.3解析：解：根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数方差的最大，则a=1，b=6，c=12；其方差s2=[（1-5）2+（3-5）2+（3-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（12-5）2]≈12.3；故答案为：12.3．根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这6个数方差的最大，则a=1，b=6，c=12；由方差公式计算可得答案．本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．15.答案：（-1，8）解析：解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：如图，则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴=（-x，2），=（8-x，4）∴•=x2-8x+8，∵x∈[0，8]，∴-8≤•≤8，第9页，共14页∴当λ=-8时有一解，当-8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴=（0，2-y），=（8，4-y）∴•=（2-y）（4-y）=y2-6y+8∵0＜y≤8，∴-1≤•＜24∴当λ=-1或8＜λ＜24时有唯一解；当-1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴=（-x，-6），=（8-x，-4），∴•=x2-8x+24，∵0＜x≤8，∴8≤•≤24，∴当λ=8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴=（-8，2-y），=（0，4-y），∴•=（2-y）•（4-y）=y2-6y+8∵0＜y＜8，∴-1≤•＜24，∴当λ=-1或8＜λ＜24时有一解，当-1＜λ≤8时有两解．综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得•=λ成立，那么λ的取值范围是（-1，8）故答案为：（-1，8）建立坐标系，逐段分析•的取值范围及对应的解得答案．本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．16.答案：解析：解：f（x）=2x2+2x+b，x∈[-1，0]，对称轴为x=-，可得f（x）的最小值为f（-）=b-，f（x）的最大值为f（0）=f（-1）=b；由题意f（f（x））≤0，可得可得-≤b≤0，设y0=f（x0），可得f（y0）=x0且y0≠x0，即有f（x）存在两点关于直线y=x对称，令直线l：y=m-x，与y=2x2+2x+b，第10页，共14页联立可得2x2+3x+b-m=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），中点为E（x0，y0），即有，即有E（-，m+）在直线y=x上，可得m=-，则2x2+3x+b+=0在[-1，0]上有两个不等实根，设h（x）=2x2+3x