2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)

2.4正态分布高二数学选修2-3X引入正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:分组频数频率累积频率频率/组距25.235~25.26510.010.010.000925.265~25.29520.020.030.001825.295~25.32550.050.080.004525.325~25.355120.120.200.010925.355~25.385180.180.380.016425.385~25.415250.250.630.022725.415~25.445160.160.790.014525.445~25.475130.130.920.011825.475~25.50540.040.960.003625.505~25.53520.020.980.001825.535~25.56520.021.000.0018合计1001.00列出频率分布表100件产品尺寸的频率分布直方图产品内径尺寸/mm频率组距o2468频率分布直方图200件产品尺寸的频率分布直方图产品内径尺寸/mm频率组距o2468产品内径尺寸/mm频率组距o2468样本容量增大时频率分布直方图总体密度曲线可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线---总体密度曲线.产品尺寸(mm)总体密度曲线这个试验是英国科学家高尔顿设计的,具体如下:在一块木板上,订上n+1层钉子,第1层2个钉子,第2层3个钉子,……,第n+1层n+2个钉子,这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多.自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中小球碰到钉子时,从左边落下的概率是p,从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此.最后落入底板中的某个格.下面我们来试验一下:以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.1编号频率/组距234567891011知识回放总体密度曲线0YX知识总结22()21()2xfxe),(x函数称f(x)的图象称为正态曲线。式中的实数μ、σ(σ0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差。1、正态曲线的定义：xyx2、标准正态总体的函数表示式2221)(xexf),(x012-1-2xy-33μ=0σ=1附：正态总体的函数表示式当μ=0，σ=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态总体的函数表示式),(x012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线μ]21,0(（－∞，μ]（μ，+∞）（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线正态总体的函数表示式222)(21)(xexf),(x=μx(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足d,()()baPaXbxx，则称X的分布为正态分布，记作________.如果随机变量X服从正态分布，记作______________．μ,σ分别表示____________与_________．3.正态分布2(,)XN2(,)N总体的期望标准差的意义产品尺寸(mm)x1x2总体平均数反映总体随机变量的平均水平x3x4平均数x=μ产品尺寸(mm)总体平均数反映总体随机变量的平均水平总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度平均数的意义12(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝ʃbaφμ,σ(x)dx，则称X的分布为正态分布，记作.(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.0.68260.95440.99743.正态分布在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量结果；在生物学中，同一群体的某一特征；……；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。①曲线位于x轴,与x轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线对称；③曲线在_______处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为；⑤当σ一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移,如图甲所示；(4)正态曲线的性质：上方xx1⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示．越小越大正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征22()21(),(,)2xxex012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π22()21(),(,)2xxex5、特殊区间的概率:-a+ax=μ若X~N,则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。2(,),()()aaPaaxdxx≤(,]aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。2,23,3由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX当3a时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3原则.5．3σ原则：正态总体几乎取值于区间_______________之内，而在此区间以外取值的概率只有________，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.X(μ－σ，μ＋σ)(μ－2σ，u＋2σ)(μ－3σ，μ＋3σ)P68.26%95.44%99.74%图线例如：在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,25)，现已知该班同学中成绩在75～85分的同学有34人，则该班约有________个人．(μ－3σ,μ＋3σ)0.002650例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.22()21(),,(0)2xfxe都是实数222()2xfxe2(1)41()22xfxe221()2xfxeB2.如图，曲线C1:f（x）=，曲线221(1)21e(R)21xux—222122()1:()e(R)22xuCxx—则（）D3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477B．0.625C．0.954D．0.977解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称，又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.答案：C题型二服从正态分布的概率计算解:∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.解:∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.解:∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.解:∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.【例2】设X～N(1,22)，试求(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)．题型二服从正态分布的概率计算【例2】设X～N(1,22)，试求(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)．(2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)∴P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.＝12(1－0.9544)＝0.0228.(2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)∴P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.＝12(1－0.9544)＝0.0228.(2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)∴P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.＝12