圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件22()()xaybr①化简可得：222()()xaybr②642-2-4-55MA引导学生自己证明222()()xaybr为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)MM是否在这个圆上。分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。探究：点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在圆外（2）2200()()xayb=2r，点在圆上（3）2200()()xayb2r，点在圆内例（2）：ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()xaybr可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定abr、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C的圆:10lxy经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在:10lxy上,求圆心为C的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B,由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。（教师板书解题过程）42-2-4-6-55mlABC总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：①、根据题设条件，列出关于abr、、的方程组，解方程组得到abr、、得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.课堂练习：课本127p第1、3、4题4.提炼小结：1、圆的标准方程。2、点与圆的位置关系的判断方法。3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。圆的一般方程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0.取D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得22224()()224DEDEFxy②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2+E2–4F＞0时，方程②表示以(,)22DE为圆心，22142DEF为半径的圆；（2）当D2+E2–4F=0时，方程只有实数解,22DExy，即只表示一个点(,)22DE；（3）当D2+E2–4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2–4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.应用举例例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0（2）4x2+4y2–4x+12y+11=0解析：（1）将原方程变为x2+y2–x+3y+94=0D=–1，E=3，F=94.∵D2+E2–4F=1＞0∴此方程表示圆，圆心（12，32），半径r=12.（2）将原方程化为x2+y2–x+3y+114=0D=–1，E=3，F=114.D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圆.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0来说，这里的D=–1，E=3，94F而不是D=–4，E=12，F=9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.例2求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即02042200FDEFDEF解此方程组，可得：D=–8，E=6，F=0∴所求圆的方程为：x2+y2–8x+例2讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.6y=0221452rDEF；4,322DF.得圆心坐标为(4，–3).或将x2+y2–8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，(x–4)2+(y+3)2=25，从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4，–3).例3已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x+1)2+y2=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以0043,22xyxy，①于是有x0=2x–4，y0=2y–3因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+y02=4②把①代入②，得(2x–4+1)2+(2y–3)2=4，整理得2233()()122xy所以，点M的轨迹是以33(,)22为圆心，半径长为1的圆.课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.归纳总结1．圆的一般方程的特征2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.MAxyOB4.1.1圆的标准方程一、基础过关1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为()A．(－1,2)，2B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(1，－2)，42．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝14．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝33x的距离为()A.12B.32C．1D.35．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．7．求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．二、能力提升9．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？三、探究与拓展13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．答案1．A2.B3.B4．A5．5＋26.x－1952＋y－352＝17．解(1)圆的半径r＝|CP|＝5－82＋1＋32＝5，圆心为点C(8，－3)，∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵点P、Q在所求圆上，依题意有16＋2－b2＝r2，36＋2＋b2＝r2，⇒r2＝1454，b＝－52.∴所求圆的方程是x2＋y＋522＝1454.8．解由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，∴由3x＋2y－15＝0，3x＋10y＋9＝0，解得x＝7，y＝－3.∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.9．D10.D11．[0,2]12．解能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将A，B，C三点的坐标分别代入有a2＋1－b2＝r2，2－a2＋1－b2＝r2，3－a2＋4－b2＝r2，解得a＝1，b＝3，r＝5.∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D(－1,2)代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D点坐标适合此圆的方程．故A，B，C，D四点在同一圆上．13．解设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.4.1.2圆的一般方程