2019年江苏省常州市中考数学试卷

第1页，共18页2019年江苏省常州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.−3的相反数是()A.13B.−13C.3D.−32.若代数式𝑥+1𝑥−3有意义，则实数x的取值范围是()A.𝑥=−1B.𝑥=3C.𝑥≠−1D.𝑥≠33.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A.圆柱B.正方体C.圆锥D.球4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是()A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD5.若，相似比为1：2，则△𝐴𝐵𝐶与的周长的比为()A.2：1B.1：2C.4：1D.1：46.下列各数中与2+√3的积是有理数的是()A.2+√3B.2C.√3D.2−√37.判断命题“如果𝑛1，那么𝑛2−10”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为()A.−2B.−12C.0D.128.随着时代的进步，人们对𝑃𝑀2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切．某市一天中𝑃𝑀2.5的值𝑦1(𝑢𝑔/𝑚3)随时间𝑡(ℎ)的变化如图所示，设𝑦2表示0时到t时𝑃𝑀2.5的值的极差(即0时到t时𝑃𝑀2.5的最大值与最小值的差)，则𝑦2与t的函数关系大致是()第2页，共18页A.B.C.D.二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：𝑎3÷𝑎=______．10.4的算术平方根是______．11.分解因式：𝑎𝑥2−4𝑎=______．12.如果∠𝛼=35°，那么∠𝛼的余角等于______°.13.如果𝑎−𝑏−2=0，那么代数式1+2𝑎−2𝑏的值是______．14.平面直角坐标系中，点𝑃(−3,4)到原点的距离是______．15.若{𝑥=1,𝑦=2是关于x、y的二元一次方程𝑎𝑥+𝑦=3的解，则𝑎=______．16.如图，AB是⊙𝑂的直径，C、D是⊙𝑂上的两点，∠𝐴𝑂𝐶=120°，则∠𝐶𝐷𝐵=______°.17.如图，半径为√3的⊙𝑂与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠𝑂𝐶𝐵=______．18.如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐷=3𝐴𝐵=3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，𝐶𝐸=2𝐵𝐸，点M、N在线段BD上．若△𝑃𝑀𝑁是等腰三角形且底角与∠𝐷𝐸𝐶相等，则𝑀𝑁=______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.计算：(1)𝜋0+(12)−1−(√3)2；(2)(𝑥−1)(𝑥+1)−𝑥(𝑥−1)．第3页，共18页20.解不等式组{𝑥+10,3𝑥−8≤−𝑥,并把解集在数轴上表示出来．21.如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点𝐶′处，𝐵𝐶′与AD相交于点E．(1)连接𝐴𝐶′，则𝐴𝐶′与BD的位置关系是______；(2)𝐸𝐵与ED相等吗？证明你的结论．22.在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元)，并绘制成下面的统计图．(1)本次调查的样本容量是______，这组数据的众数为______元；(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．第4页，共18页23.将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．(不重叠无缝隙拼接)24.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？25.如图，在▱OABC中，𝑂𝐴=2√2，∠𝐴𝑂𝐶=45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑥0)的图象经过点A、D．(1)求k的值；(2)求点D的坐标．第5页，共18页26.【阅读】数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】(1)如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；(2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：𝑛2=______；【运用】(3)𝑛边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(𝑚+𝑛)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当𝑛=3，𝑚=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以𝑦=7．①当𝑛=4，𝑚=2时，如图4，𝑦=______；当𝑛=5，𝑚=______时，𝑦=9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得𝑦=______(用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．27.如图，二次函数𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上．(1)𝑏=______；(2)若点P在第一象限，过点P作𝑃𝐻⊥𝑥轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、𝑁.是否存在这样的点P，使得𝑃𝑀=𝑀𝑁=𝑁𝐻？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P的横坐标小于3，过点P作𝑃𝑄⊥𝐵𝐷，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且𝑆△𝑃𝑄𝐵=2𝑆△𝑄𝑅𝐵，求点P的坐标．第6页，共18页28.已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．(1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：______；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：______；(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(−1,0)、𝐵(1,0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若𝑑=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；②若点C在⊙𝑀上运动，⊙𝑀的半径为1，圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙𝑀上任意点C，都有5≤𝑑≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．第7页，共18页答案和解析1.【答案】C【解析】解：(−3)+3=0．故选：C．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．2.【答案】D【解析】解：∵代数式𝑥+1𝑥−3有意义，∴𝑥−3≠0，∴𝑥≠3．故选：D．分式有意义的条件是分母不为0．本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．3.【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A．通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4.【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．由垂线段最短可解．本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．5.【答案】B【解析】解：，相似比为1：2，∴△𝐴𝐵𝐶与的周长的比为1：2．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6.【答案】D【解析】解：∵(2+√3)(2−√3)=4−3=1；故选：D．利用平方差公式可知与2+√3的积是有理数的为2−√3；本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．第8页，共18页7.【答案】A【解析】解：当𝑛=−2时，满足𝑛1，但𝑛2−1=30，所以判断命题“如果𝑛1，那么𝑛2−10”是假命题，举出𝑛=−2．故选：A．反例中的n满足𝑛1，使𝑛2−1≥0，从而对各选项进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8.【答案】B【解析】解：当𝑡=0时，极差𝑦2=85−85=0，当0𝑡≤10时，极差𝑦2随t的增大而增大，最大值为43；当10𝑡≤20时，极差𝑦2随t的增大保持43不变；当20𝑡≤24时，极差𝑦2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．根据极差的定义，分别从𝑡=0、0𝑡≤10、10𝑡≤20及20𝑡≤24时，极差𝑦2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．9.【答案】𝑎2【解析】解：𝑎3÷𝑎=𝑎2．故答案为：𝑎2．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．10.【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可．此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．11.【答案】𝑎(𝑥+2)(𝑥−2)【解析】解：𝑎𝑥2−4𝑎，=𝑎(𝑥2−4)，=𝑎(𝑥+2)(𝑥−2)．先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.【答案】55【解析】解：∵∠𝛼=35°，∴∠𝛼的余角等于90°−35°=55°故答案为：55．若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠𝛼的余角为90°减去∠𝛼，从而可解．本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．第9页，共18页13.【答案】5【解析】解：∵𝑎−𝑏−2=0，∴𝑎−𝑏=2，∴1+2𝑎−2𝑏=1+2(𝑎−𝑏)=1+4=5；故答案为5．将所求式子化简后再将已知条件中𝑎−𝑏=2整体代入即可求值；本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．14.【答案】5【解析】解：作𝑃𝐴⊥𝑥轴于A，则𝑃𝐴=4，𝑂𝐴=3．则根据勾股定理，得𝑂𝑃=5．故答案为5．作𝑃𝐴⊥𝑥轴于A，则𝑃𝐴=4，𝑂𝐴=3，再根据勾股定理求解．此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．15.【答案】1【解析】解：把{𝑥=1𝑦=2代入二元一次方程𝑎𝑥+𝑦=3中，𝑎+2=3，解得𝑎=1．故答案是：1．把{𝑥=1𝑦=2代入二元一次方程𝑎𝑥+𝑦=3中即可求a的值．本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题