结构力学影响线解析

1第十一章影响线及其应用§11-1影响线的基本概念§11-2静力法作影响线§11-3机动法作影响线§11-4影响线的应用§11-5简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩§11-6超静定力的影响线§11-7连续梁的最不利荷载分布及内力包络图2§11-1影响线的基本概念一.移动荷载例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊车梁而言是移动荷载。又如汽车，火车在桥梁上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。荷载的大小，方向一定，但其作用位置发生连续变化的荷载，就称为移动荷载。汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。3FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q1）对于任意给定截面C，其位移或内力（例如MC）当给定的移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是求移动荷载的最不利位置问题。在移动载荷的作用下,结构中任意截面上的内力（M,FS,FN）和位移（△,）以及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：42）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上某个截面上的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁的绝对最大弯矩的求解问题。3）还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。为了求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的，而且每个集中力的大小也不相同。但是，我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个单位移动荷载F=1在结构上移动时结构的内力和位移的变化规律。5F=1xlFRA,(0)0RABMlxFFxll。现在我们首先讨论如下图所示的简支梁，当单个荷载F=1在梁上移动时，支座A处的反力FRA的变化规律。(0)RAlxFxll由上式可见，FRA与F成正比，比例系数称为FRA的影响系数，用表示，即：lxlRAFOxBA6在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，影响系数的大小。RAF上式是反力影响系数与移动荷载位置参数x之间的函数关系，该函数图形就称为反力FRA的影响线，见下图。RAFxyFRA的影响线1yOBA7FP1FP21122RAPPFyFyF。若梁上作用有固定荷载（如下图所示），则根据叠加原理，A支座的支座反力FRA为：xFRA的影响线1y1y2yOBABA8ZZFZZF，。影响系数是Z与F的比例系数，即：Z二.影响线的定义与Z的量纲不同，它们相差一个荷载F的量纲。Z当单位集中移动荷载F=1在结构上移动时，表示结构指定截面的某一量值Z的变化规律的曲线，称为量值Z的影响线。量值Z可以是截面上的内力或位移，也可以是支座反力。9§11-2静力法作静定梁的影响线一.内力和支座反力的正负号轴力FN的正负号：竖向支座反力通常以向上为正，向下为负。梁弯矩M的正负号：剪力FS的正负号：10二.简支梁的影响线利用静力平衡方程，求出的函数关系，然后画出函数图形，就求得了结构中某一量值的影响线。ZxZ采用静力法作影响线：11FRA影响线1BAFRB影响线1BAx0(0)RBAlFxlMxl。，1.支座反力的影响线0(0)RABxFlMxl，。F=1xlabCRAFRBFOBA12当F=1在CB段，取AC段作隔离体：SCFCMRAFaCA00()()CRASCRACyMFMFaaxlFFaxl。，。，2.弯矩和剪力的影响线当F=1在AC段，取CB段作隔离体：CMSCFRBFbBC(0)00()0CRBSCRBCyMFMFbxaFFxa，，。。13MC影响线abablBAC截面C的弯矩和剪力的影响线如下图所示。FSC影响线al11blBAC14下面讨论影响线与内力图的区别:影响线xF=1ACablBablMC影响线ACB内力图x=aF=1ACablBablM图ACBblalFSC影响线ACBblalFS图ABC151）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位置；内力图中，x是梁截面位置。2）纵坐标y：影响线图中，y是当F=1在该位置时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的内力值。3）荷载位置：求影响线时，F=1是移动荷载；内力图中，荷载位置是固定的。解释说明如下:16CF=1在FSC影响线图中，竖标是当F=1作用于C截面时，FSCL的值；竖标则是FSCR的值，如下图所示。blalFSCL=AblblCBFSCR=alCalFSC影响线11blalCBA17三.伸臂梁的影响线作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影响线，然后延伸至悬臂段。1.支座反力影响线FRA及FRB影响线如右图所示。()RARBlxxFFlldxld，。00BAMM由及得：lxF=1ACabBddEDRAFRBFx1FRA影响线1dldlABED1dldl1FRB影响线ABED18当F=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)：0()0()CCRBySCRBMMFbdxaFFFdxa，。，。2.C截面弯矩及剪力影响线当F=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：0()0()CCRAySCRAMMFaaxldFFFaxld，。，。CMSCFRBFbBCdEa)dADaCb)RAFSCFCM19MC及FSC影响线如下图示：3.作FSAR及A左截面内力的影响线先作FSAR影响线。MC影响线adlbdlablABEDFSC影响线dlblaldlABED20FSAR影响线如下图所示。(0)SARRAFFxld，当F=1在DA段时，取AE段作隔离体(图a)：当F=1在AE段时，取DA段作隔离体(图b)：0SARRBFFdx，ARdDARMSARFRAFb)lBdERBFSARFARMa)AR21容易求得，FSAL及MAL影响线如下图所示。总结：伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁完全相同，伸臂段图形则是简支段图形的向外延伸。FSAR影响线dl1dlABEDdMAL影响线ABED1FSAL影响线ABED22四.在间接结点荷载作用下的影响线如图所示简支梁AB，单位移动荷载F=1在上部纵梁上移动，纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。试求主梁AB某截面内力Z的影响线。在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线。下面我们以MK为例，加以证明。F=1ACDKxBxO由下面的证明可以得出结论：231）在直接移动荷载作用下，MK影响线已经画出。当F=1在截面C或截面D时，可得(见图a):CD,KKMyMy。2）在间接结点荷载作用下，当移动荷载F=1作用在C,D截面之间时，根据叠加原理可得(见图b):证明MK影响线（直接荷载）AKBa)yDyCCDdCDKF=1xdxdxdb)BA24DCKCDCyydxxMyyyxdddfx（）。由此可见，是的一次函数，也是x的一次函数。所以，MK影响线在结点C，D之间是一直线。KMx间接结点荷载作用下MK影响线如下图c)所示：MK影响线（结点荷载）ACKDByCyDc)251）作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影响线，并确定与各结点对应的竖标。2）确定与各结点对应的竖标，在两结点之间连以直线加以修正，就得到间接结点荷载作用下的影响线。在间接结点荷载作用下，FSK影响线如下图所示：作间接结点荷载作用下的影响线的步骤为：FSK影响线（结点荷载）ACKDBycyd26例11-2-1作图示梁在间接结点荷载作用下的影响线。解：BF=1ACDxFEd/2d/22d/3dddddGHd/23d/4MC影响线d/2d/21/31/2FSC影响线1/31/31/2275d/6d/35d/12MD影响线FSD影响线1/61/35/62/3d/2d/2F=1ACDxFE2d/3dddddBGH28ME影响线2d/31/32/3FSFR影响线1/3FSFL影响线1/31/32/31/3Bd/2F=1ACDxFEd/22d/3dddddGH29五.静定平面桁架的影响线平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载F=1通过纵梁，横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受间接结点荷载的情况一样。因此，桁架中任意一根杆件的轴力的影响线在两结点之间为一直线。求桁架中杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载F=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出杆件的轴力即可。30例11-2-2作图示桁架中杆件1,2的轴力FN1,FN2的影响线。1）支座反力FRA,FRB的影响线与跨度为5d的简支梁相同。解：F=1F=1RAFRBFAEF21BCD5dIIh3101(/013)NRBFFFFdMMhh，。011(02)/NRAFFFFdMMhh，。2)求FN1的影响线（上承时）当F=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：当F=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：——相应简支梁F截面的弯矩。0FMABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hFN1影响线（上承时）6d/5h3201(/013)NRBFFFFdMMhh，。011(02)/NRAFFFFdMMhh，。求FN1的影响线（下承时）当F=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：当F=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：——相应简支梁F截面的弯矩。0FMABEF6d/5hFN1影响线（下承时）2d/h3d/h6d/10h333)求FN2的影响线（上承时）当F=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：2222040NyRBFFhFhd，，2222024422NRBSCDhdhdFFFhh。0SCDF——相应简支梁节间CD的剪力。hd/22242hd342222040NyRAFFhFhd，，2222024422NRASCDhdhdFFFhh。当F=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：hd/22242hd0SCDF——相应简支梁节间CD的剪力。ABCD223420hdh2242hdhFN2影响线(上承时)2242hdh2244hdh35求FN2的影响线（下承时）当F=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：22220244220NRBSEyFhdhdFFFFhh，。22220244220yNRASEFhdhdFFFhhF，。当F=1在结点E右侧，取截面I-I以左为隔离体：0SEFF——相应简支梁节间EF的剪力。ABEFFN2影响线（下承时）2242hdh2242hdh22410hdh223410hdh36§11-3机动法作影响线F=1xl/4l/4lAB机动法作静定结构的影响线：应用虚功原理，把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解将变得十分简捷。现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响线为例进行说明。372.令该机构产生刚体位移，使与Z方向一致，则虚功方程为：Z0ZPZFx（）。P图F=1xZ()Px14Z54ZABRBZF1.撤去与相应的约束，代之以反力，原结构变成具有一个自由度的机构。RBFRBZF上式中，恒为正；与F同向为正，反向为负。乘积的正负号由的正负号调整。ZZPx（）PFx（）Px（）38()PZxZ。1Z，()PZx。可见，在图中，令，并将图反号，就求得Z的影响线，并且能确定影响线的正负号及竖标大小。1ZPP3.由上式可得:令:得到:1454AB1FRB影响线39例11-3-1用机动法求下图所示伸臂梁C截面上的MC及FSC的影响线。F=1ABC2ddddx解：1.作MC的影响线将C截面变为铰结点，暴露出弯矩：令该机构产生刚体位移，使C截面左、右侧相