统计与概率知识点

考点1.统计的方法普查与抽样调查：1）普查：为一特定目的而对所有考察对象做的全面调查叫普查；2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象做的调查叫抽样调查。说明：(1）下列的情形常采用抽样调查：①当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时；②当调查具有破坏性，不允许普查时。(2）抽样调查的要求：①抽查的样本要有代表性；②抽查的样本不能太少。考点2与统计有关的概念：1）总体：所要考查的对象的全体叫总体；2）样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量。使总体的每一个个体有同等的机会被选中，这样的样本称为简单随机样本；3）个体：总体中每一个考查的对象叫做个体；4）频数：统计时，每个对象出现的次数叫频数，频数之和等于总数；5）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值叫频率，频率之和等于1。注意：考查对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项数量指标。考点3统计图表：1）扇形统计图是用圆代表总体，圆中各个扇形分别代表总体中不同部分的统计图，它可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量；2）条形统计图能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化，复合条形图的描述对象是多组数据；3）折形统计图可以反映数据的变化趋势；4）频数分布表和频数分布直方图，能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。说明：绘制频数分布直方图的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数（当数据在100个以内时，一般取5～12组）；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数,绘制频数分布直观图；考点4数据的代表：反映数据集中趋势的特征数1）平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数称为这组数据的平均数；①算术平均数：一般地，如果n个数,,,,21nxxx那么)(121nxxxnx叫做这n个数的平均数；②加权平均数：如果n个数中，1x出现1f次，2x出现2f次，…，kx出现kf次（这里nfffk21），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为nfxfxfxxkk2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中kfff,,,21叫做权。2）中位数：将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数，就是这组数据的中位数；3）众数：一组数据出现中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。注意：1)确定中位数时，一定要注意先把整个数据按照大小顺序排列，再确定；2)当一组数据出现极端数据时用平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，这是就应考虑用中位数或众数来考查。3)平均数的简化计算：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：axx'。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，axx11'，axx22'，…，axxnn'。)'''(1'21nxxxnx是新数据的平均数（通常把,,,,21nxxx叫做原数据，,',,','21nxxx叫做新数据）。考点5数据的波动：反映数据波动大小的特征数(1）极差：一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差，它反映了一组数据波动范围的大小；.(2)方差:在一组数据,,,,21nxxx中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即])()()[(1222212xxxxxxnsn简化计算公式（Ⅰ）：])[(12222212xnxxxnsn也可写成2222212)][(1xxxxnsn此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。简化计算公式（Ⅱ）：]')'''[(12222212xnxxxnsn当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据axx11'，axx22'，…，axxnn'，那么，2222212')]'''[(1xxxxnsn此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。新数据法：原数据,,,,21nxxx的方差与新数据axx11'，axx22'，…，axxnn'的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得,',,','21nxxx的方差就等于原数据的方差。(3)标准差:方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即])()()[(1222212xxxxxxnssn考点6利用样本估计总体及根据数据进行决策1）利用样本的特征去估计总体的特征是推断统计的基本思想，要注意样本选取中个体要有足够的代表性.(2）利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策。考点7事件的分类：(1）确定事件：在一定条件下，有些事件发生与否可以事先确定，这样的事件叫做确定事件，其中一定会发生的叫做必然事件，不一定会发生的叫做不可能事件；(2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件；考点8概率的概念：概率：在随机现象中，一个事件发生的可能性大小叫做这个事件的概率；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率介于0与1之间。考点9概率的计算：(1）试验法求概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会逐渐稳定在某个常数P附近，那么把这个常数P作为这一事件发生的概率的近似值，事件A的概率记作P（A）=m/n说明：不能说频率等于概率，这两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性；一个事件发生的频率接近于概率，必须有足够的大量重复试验，才可以用频率作为事件发生概率的估计值。(2）列举法求概率：①直接法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它的发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m/n②列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据P（A）=m/n计算概率；③画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图表示出所有可能的结果，再根据P（A）=m/n计算概率。注意：利用列表法，画树状图求概率，实质上是求等可能性事件的概率，其前提是各种情况出现的可能性必须相等。考点10概率的应用：(1）用概率分析事件发生的可能性：概率是表示一个事件发生的可能性大小的数，事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近0；(2）用概率设计游戏方案：在设计游戏规则时要注意设计的方案要使双方获胜的概率相等；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等。注意：游戏的公平性是通过概率来判断，在得分相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘以相应得分，结果相等即公平，否则不公平。（一）统计与概率的知识结构图打个比方，概率论研究的是一个白箱子，你知道这个箱子的构造（里面有几个红球、几个白球，也就是所谓的分布函数），然后计算下一个摸出来的球是红球的概率。而统计学面对的是一个黑箱子，你只看得到每次摸出来的是红球还是白球，然后需要猜测这个黑箱子的内部结构，例如红球和白球的比例是多少？（参数估计）能不能认为红球40%，白球60%？（假设检验）