现代控制理论-第3章-能控性和能观测性

第三章能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。卡尔曼这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。点击观看第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：1122112xkxkxkxkuk初始状态为：120101xx，用递推法可解得状态序列：11222112221101011200201211221122011,11kkxxxxuukxxxxuuukkxkxk1222211220211kkkxkxkukuuuk可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。设单输入离散系统状态方程为：10x1xk12Txkxk，ukuk1kkukxxg(3-1)式中，为n维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；g为维输入矩阵：k表示kT离散瞬时，T为采样周期。kxuk1kk，nn1n初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为为研究方便，且不失一般性地假定。0xnx0nx单输入离散系统状态可控性定义如下在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制号,,能使系统从任意初态转移到任意终态则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。0tnT0u1u,1un0x0nx可导出可控性应满足的条件。按定义，令，且，方程两端左乘，给出：kn0nxn11120120011011nininguiuuunuuunxgggggg(3-3)121nSggg令(3-4)1100kkkiikuixxg(3-2)由方程(3-1)的解该阵为维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含n个方程，含n个未知数,。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时，方程有解，否则无解。在任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵满秩，即nn0u,1un1S10Sx0x1S1ranknS(3-5)或能控阵的行列式不为零1S10Sdet(3-6)或能控阵是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定，可求出确定的，,。1S0x0u,1un1u已知满秩矩阵与另一满秩矩阵相乘，其秩不变，故n1S1nS11nnnggggrankrankrank(3-7)使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能控性判据。，均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵及输入矩阵。1S1Sg交换矩阵的列7，且记为，其秩也不变，于是有：1S221nnngggggrankrank1S(3-8)当rank时，系统不可控，不存在能使任意转移到的控制。1nS0x0nx从以上推导看出，当不受约束时，能使任意转移到意味着至多经过n个采样周期便可完成转移，而n乃是系统矩阵的阶数，或系统特征方程的阶次数。uk0x0nx00xnx以上研究假定了终态。若令终态为任意给定状态则方程(3-2)变为：1100nnniinuixxg(3-9)方程两端左乘n，有120101nnuununxxggg－(3-10)该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论，故假定是不失一般性的。0nx例3-1利用递推法研究下列离散系统1001102201101kkukxx初态为，试选择，，使系统状态在时转移到零。210Tnx0x1x2x3n提示：点击观看解令0，1，2，得状态序列2110020011uuxxg3232200122111122021024311uuuuuuuxxgxggg令，即解如下方程组：30x1110222011231124uuu系数矩阵即能控阵，当其非奇异时，可解出：10111212201223114uuu11122225111121122481102即取时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态，因而系统是能控的。0511128uuu，，若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态，只需研究时是否存在令，解如下方程组：20x01uu，，20x11202061110uu容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵的秩为3，两个秩不等，故无解，表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。112206110例3-2试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。1110223113n1S2ggg2111102240113Sggg解rankrankrank或故能控。例3-3设同例3-1，，试判断能控性。0x、121Tg111222131111S2ggg解rankrankrank故不能控。关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为：1kkkxxGu(3-11)式中为维控制向量，为维输入矩阵。问题转化为能否求出无约束的控制向量，,，使系统从任意初态转移到。ku1pGnp0u1u,1un0x0nx方程(3-11)的解为：1100kkkiikixxGu(3-12)令，且两端左乘得：kn，n11012120011011niinninuuunxGuGuGuGuGGG＋(3-13)121nSGGG令(3-14)该阵为维矩阵；同,子列向量构成的控制列向量是维的。式(3-13)含有n个方程，个待求控制量。由于初态可任意给定，根据解存在定理，唯有矩阵的秩为n时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：,1un0unnpnp1np0x2S02Srank2nSrankrankrankrankrankrank(3-18)(3-17)(3-16)(3-15)或或或20S2S2nS12nnnGGGG2S221nnnGGGGG式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解不唯一，可以任意假定个控制量，其余n个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。npn例3-4试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：1ikkkxxGu式中1222100010201201001401010iGG，；解:计算1120204G212404110G221110012240102041004110SGGG故显见由前三列组成的矩阵的行列式0010100100det故rank，系统可控。23S22222011223000000100112SGGG－－显见出现全零行，rank，故不能控。223S多输入系统能控阵，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见矩阵的秩为n，便不必把矩阵的所有列都写出。有时可通过计算的秩是否为n来判断多输入系统的能控性。这是因为，当非奇异时，必非奇异，而为方阵，只需计算一次n阶行列式即可确定能控性，但在计算时，可能需多次计算n阶行列式。2S22TSS2S2S2S2S22TSS22TSS在多输入系统中，使任意初态转移至原点一般可少于n个采样周期。见例3-4，令，可给出；0x0k，10x1000ixxGu1121202100010000010210132120100223iuuuuxGu则已知，若能唯一确定，便表示能在第一个采样周期将转移到原点。1200uu、0x0x二连续系统的状态能控性引例设单输入连续系统方程为：1122xxxu22xx其中，第二个方程只与状态变量本身有关，且与无关，是不能控状态变量；受控制，是能控状态变量。从状态变量图3-1显见可影响而不能影响，于是使状态微量不能在作用下任意转移，称状态不完全能控，简称不能控。2xu1x2x1xuuu为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故先介绍该定理。式中为元素埏是的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘得：BIAfBIAIIA(3-22)关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论设n阶矩阵A的特征多项式为：(3-19)1110nnnfaaaIA11100nnnfaaaAAAAI证明据逆矩阵定义有：1fBBIAIA(3-21)则矩阵A满足(3-20)