现代控制理论-第12章-最优线性预测与滤波的基本方程

第十二章最优线性预测与滤波的基本方程12.1维纳滤波12.2卡尔曼滤波问题的提法12.3离散系统卡尔曼最优预测基本方程的推导12.4离散系统卡尔曼最优滤波基本方程的推导12.5连续系统卡尔曼滤波基本方程的推导12.6系统噪声与观测噪声相关的卡尔曼滤波12.7具有输入信号的卡尔曼滤波12.8有色噪声情况下的卡尔曼滤波12.9滤波的稳定性概念和滤波的发散问题第一节维纳滤波12.1.1、维纳滤波问题的提法12.1.2、维纳-霍夫积分方程维纳滤波问题的提法设系统的观测方程为式中，为有用信号为观测信号为观测误差。设、和都是均值为零并具有各态历经性的平稳随机过程（附录四）。ztxtvtxtvtztxtztvt根据观测值估计，使估值接近于。维纳滤波的任务就是设计出一个线性定常系统L，如图12-1所示，使得系统的输出与具有最小方差，即(12-3)这样就作为的估值。2minJExtytˆxtxtxtztˆxtxtytytxt根据问题的性质，维纳滤波有下列三个条件：⑴信号与噪声都是均值为零并具有各态历经性的平稳随机过程；⑵滤波器是一个物理可实现的线性定常系统。当时，；⑶最优准则是滤波的方差为最小。这些条件使维纳滤波受到很大限制。00h如果系统的脉冲过渡函数为，则(12-4)是系统L根据输入信号在上的全部过去值所给出的实际输出，如图12-2所示。是的线性函数。0ythztdhytt，zt0ztyt维纳-霍夫积分方程维纳-霍夫积分方程是确定最优滤波器脉冲过渡函数的一个方程式。根据正交定理（附录五），估计误差应与观测值正交，即00Exthztdztt00ExtzthEztztd(12-5)xzExtztRzzEztztR把上面两式代入式(12-5)，可得维纳滤波在随机控制领域中是一个很大的突破，但很少被应用，这主要有如下两方面原因：⑴维纳－霍夫积分方程很难解，即使求出了最优滤波器的脉冲过渡函数，在工程上往往很难实现；⑵维纳理论要求所有的随机过程都平稳的，这与工程实际问题往往不相符合。0xzzzRhRd(12-6)这就是维纳-霍夫积分方程，解此方程可得最优滤波器的脉冲过渡函数。把上面两式代入式(12-5)，可得卡尔曼在1960年提出了另一种适合于数字计算机计算的递推滤波法，即所谓的卡尔曼滤波。这种滤波方法不需要求解积分方程，既适用于平稳随机过程，也适用于非平稳随机过程，是一种有广泛应用价值的工程方法。卡尔曼维纳第二节卡尔曼滤波问题的提法在许多实际控制过程中，系统往往受到随机干扰作用，例如飞行中的飞机、导弹受到阵风的扰动。在这种情况下，线性连续系统的控制过程可用下式表示：tttttttxAxBuFw(12-7)式中，是控制系统的n维状态向量，是r维控制向量，假定是均值为零的p维白噪声向量，是n*n矩阵，是n*r矩阵，是n*p矩阵。对于实际控制系统，最优控制律或自适应控制律的形成需要系统的状态变量，而状态变量往往不能直接获得，需要通过测量装置进行观测，根据观测得到的信号来确定状态变量。但测量装置中一般都存在随机干扰。因此在观测得到的信号中夹杂有随机噪声。twtAtxtBtutF式中，是m维观测向量,是m*n矩阵，称为观测矩阵。假定是均值为零的m维白噪声，和相互独立，它们的协方差阵分别为要从夹杂有随机噪声的观测信号中准确地分离出状态变量是不可能的，只有根据观测信号来估计这些状态变量。通常，观测系统的观测方程为ttttzHxvtztHtvtw（12-8）tvTEtttwwQTEtttvvQ0TEtwv（12-9）（12-10)式中的是狄拉克(Dirac)函数，当时，；时；且。当和不随时间而变化时，Q和R都是白噪声的谱密度矩阵。为对称的非负定矩阵，为正定的对称矩阵。正定的物理意义是观测向量的各分量都附加有随机噪声。和都可对t微分。的初始状态是一个随机向量。tttt0t1tdtQtRtQtx0txtztQtRtR现在的任务是从观测信号中估计出状态变量，希望估计出来的值与实际的值愈接近愈好，因此提出最优估计问题。一般都采用线性最小方差估计。tzˆtxtx假定的数学期望，方差矩阵都为已知。00Etxm00000TtEttPxmxm0tx线性最小方差估计问题可阐述如下：假定线性控制过程如式(12-7)所示，观测方程如式(12-8)所示。从时间开始得到观测值，在区间内已给出观测值。要求找出的最优线性估计。这里记号“”表示利用时刻t以前的观测值来估计时刻的值。所谓最优线性估计包含以下三点意义：0tttz0ttz1xt1/ttz1t1xtˆ/1ttx⑴估值是的线性函数。1ˆ/xtt()0ttz⑶要求估值误差的方差为最小，即要求ˆ//111tttttxxxˆˆ//min1111TEttttttxxxx⑵估值是无偏的，即ˆ/1EttEtxx比较起来预测问题稍为简单一些，平滑问题最复杂。通常讲的卡尔曼滤波指的是预测和滤波。第一类：称为预测（或外推）问题根据和的大小关系，连续系统估计问题可分为三类：t1t第二类：=，称为滤波问题；第三类：称为平滑（或内插）问题。1tt1tt1tt设离散系统的差分方程和观测方程分别为kkkkzHxv1,1,1,1,kkkkkkkkkkkxxGuw（12-11）（12-12）式中，是n维状态向量，是r维控制向量，是m维观测向量，是n*n转移矩阵，是n*r矩阵，是n*p矩阵，是m*n矩阵。kxkukz1,kk1,kkG1,kkkH下面讨论离散系统的卡尔曼滤波问题。00EkEkTEkjkkjTEkjkkjTEkjwvwwQvvRwv（12-13）式中，为克罗尼克(Kroneker)函数，其特性是kj10kjkjkj，，假定是均值为零的p维白噪声向量序列，是均值为零的m维的白噪声向量序列，和相互独立，在采样间隔内和都为常值，其统计特性如下：kwkvkwkwkvkvtktQQ0linktQ（1）(12-14)ttkRR0linktR（2）(12-15)为非负定矩阵，为正定矩阵。和都是方差阵，而和不是方差阵。当和不随时间而变时，都是谱密度矩阵。kQkRQtRtkRkQQtRt可以证明，、与、之间存在下列关系：kQkRRtQt在的极限条件下，离散噪声序列和趋向于持续时间为零、幅值为无穷大的脉冲序列。而“脉冲”自相关函数与横轴所围的面积和分别等于连续白噪声脉冲自相关函数与横轴所围的面积和。0tkwkvtkQtkRtQtR也就是要求各状态变量估计误差的方差为最小。同时要求是的线性函数，并且估计是无偏的，即ˆ/jkx01kzzz，，，ˆ/EjkEjxx根据j和k的大小关系，离散系统估计问题也可分成三类；第一类：jk，称为预测（或外推）问题；第二类：j=k，称为滤波问题；第三类：jk称为平滑（或内插）问题。本章只讨论连续系统和离散系统的最优预测和最优滤波问题。第三节离散系统卡尔曼最优预测基本方程的推导在推导卡尔曼预测基本方程时，为了简便起见，先不考虑控制信号的作用，这样，离散系统的差分方程(12-11)变成11,1,kkkkkkkxxw(12-16)观测方程仍为式(12-12)：kkkkzHxv式中，和都均值为零的白噪声序列，和相互独立kwkvkwkv在采样间隔内和为常值，其统计特性如式(12-13)所示，即kvkw00EkEkTEkjkkjTEkjkkjTEkjwvwwQvvRwv状态向量的初值，其统计特性是给定的，即0x00Exm00000TEtxmxmP要求估值是的线性函数，并且要求估计是无偏的，即给出观测序列，要求找出的线性最优估计，使得估计误差的方差为最小，即01kzzz，，，1kxˆ1/kkxˆ1/11/kkkkkxxxˆˆ11/1!/minTEkkkkkkxxxxˆ1/kkxˆ[1/]1EkkEkxx01kzzz，，，下面推导卡尔曼预测基本公式。推导的方法有几种，比较简易的方法是利用正交定理，用数学归纳法推导卡尔曼估计的基本递推估计公式。当获得观测值之后，假定已经得到状态向量的一个最优线性预测估计。当还未获得时刻的新观测值时，根据已有的观测值，可得时刻的系统状态向量的两步预测估值：011kzzz，，，kxˆ/1kkxkkz1k1kxˆ1/1kkxˆˆ1/11,/1kkkkkkxx(12-17)由于是的一步最优线性估计，也是的最优线性预测估计，这可用正交定理来证明。由式(12-16)减式(12-17)，可得ˆ/1kkxkxˆ1/1kkx1kxˆ1/111/1ˆ1,/11,kkkkkkkkkkkkkxxxxxw1/11,/11,kkkkkkkkkxxwˆ/1/1kkkkkxxx(12-18)式中，因为是的最优线性预测估值，根据正交定理，估计误差必须正交于，所以的线性变换也必须正交于。式(12-18)中的是均值为零的白噪声序列，与相互独立，因此正交于。所以在没有获得之前，是的最优两步线性预测。ˆ/1kkxkx/1kkx011kzzz，，，/1kkx1,/1kkkkx01kzz，，kw01kzz，，kwkzˆ1/1kkx1kx01kzz，，在新观测值获取之后，可通过修正两步估值来得到的一步预测估值。kzˆ1/1kkx1kx1/kkx设的预测估值kzˆˆ/1/1kkkkkzHx由式(12-12)kkkkzHxv减式(12-19)，得的预测估计误差为kzˆ/1/1ˆ/1/1kkkkkkkkkkkkkkzzzHxxvHxv(12-19)造成的原因有两个：⑴对时刻状态向量的预测估计有误差；⑵附加了