有关圆锥展开图计算的两个重要公式

有关圆锥展开图计算的两个重要公式广东省东莞市光明中学许昌大家在解决有关圆锥侧面展开图的计算问题时，通常利用了两个等量关系，第一个是=×底面圆周长(或侧面的弧长)×母线长，第二个就是侧面的弧长等于底面的周长，但每次都直接利用这两个等量关系来计算还是很麻烦，特别是同学们往往容易忘记乘以系数，基于此我们不妨把这两个等量关系进一步推导，得出实质性的乘积、比例公式。我相信同学们在理解并运用这两个公式后，解题的思路可以变得清晰，速度和准确度也可以得到很大的提高。一、推导公式：1.乘积式：侧面积：全面积：2.比例式：弧长等于⊙O1的周长∵∴又∵即：这两组公式的优点是避开了求底面圆周长，而直接建立了S侧与R、r的乘积关系，以及圆心角n与R、r的比例关系，减少了许多中间过程，特别是比例式给我们的计算带来了极大的便利。二、运用乘积式：类型一：顺向使用公式【问题】（2009济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A．B．C．D．分析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长度以及底面圆半径有关，若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半径，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，求出未知的R或r来，从而计算出侧面积。结论：要求,就求R、r。解答：此题由底面半径高可以求出母线BC为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，选C。【练习】1.（2009铁岭）小丽想用一张半径为5cm的扇形纸片围成一个底面半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸片的面积是cm2．（结果用表示）202.（2009南昌）一个圆锥的底面直径是80cm,母线长是90cm,则它的侧面积是____。3600cm23.（2008成都）小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（）BA．12πcm2B．15πcm2C．18πcm2D．24πcm2类型二：逆向使用公式【问题】（2009义乌）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的高AO为.分析：从刚才推导出的可以看出，已知、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题目要求求出圆锥的高h，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，从而求出。解答：此题由=，r=3，可以求出R=5，再根据勾股定理求出高AO=4。【练习】（2009营口）小红用一个半径为36cm，面积为324cm2的扇形纸板，制作一个圆锥形玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为cm．9三、运用比例式：类型一：公式【问题】（2009抚顺）如图所示，已知圆锥的高AO为8cm，底面圆的直径BC长为12cm，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为度．分析：从刚才推导出的可以看出，已知n、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半径，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，求出未知的R或r来，从而计算出侧面展开图的圆心角。结论：n、R、r三个量中知二可以求余一。解答：此题由底面直径BC=12cm，高AO=8cm可以求出母线AB为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由计算出n=216，即圆锥的侧面展开图的圆心角为216度。【练习】1．（2009江西）用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则此圆锥的底面半径是cm．202．（2009成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）CA．40°B．80°C．120°D．150°3．（2008枣庄）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为（）CA．cmB．cmC．cmD．cm4．（2009仙桃）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）．BA、9°B、18°C、63°D、72°类型二：公式【问题】（2008仙桃）.如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为()A．3cmB．4cmC．cmD．cm分析：从刚才推导出的可以看出，n为扇形的圆心角，则可以看做，即。解答：此题由R=5cm，以及剪下40%的扇形为圆锥侧面展开图，根据可求出r=2cm，再由勾股定理求出高为cm，选C.【练习】1.（2009山东）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为()AA．10cmB．30cmC．40cmD．300cm2.（2009临汾）若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_____度．1203.（2008泰安）如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（）DA．B．C．D．四、综合运用乘积式，比例式：【问题】（2009崇左）已知圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为cm．分析：从刚才推导出的，可以看出，，n都要依靠R、r来建立联系，当我们已知时，可以建立R、r的乘积关系，当我们已知n时，又可以建立R、r的比例关系。最终可以求出未知量。解答：此题由=，得到Rr=8，由n=，得到，则R=8cm，r=1cm即：圆锥的母线长为8cm【练习】1.（2009郴州）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）DA．B．C．D．2.（2009来宾）若圆锥的底面周长是10π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为90°，则该圆锥的侧面积是（）CA．25πB．50πC．100πD．200π3.（2009青海）如图11，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；2：1（2）求的度数；60°（3）圆锥的侧面积（结果保留）．182011-10-10人教网