北京海淀区2018-2019年高二下学期期中考试数学试卷及答案

海淀区高二年级第二学期期中练习数学2019.4本试卷共4页，100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数1i对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）函数()lnfxxx的导数()fx为A.ln1xB.ln1xC.11+xD.11x（3）在平面直角坐标系xOy中，半径为2且过原点的圆的方程可以是A．22(1)+(1)2xyB．22(1)+(2)2xyC．22(1)+(1)4xyD．22(2)+4xy（4）双曲线2224xy的焦点坐标为A．(06)，和(06)，B．(6,0)和(6,0)C．(02)，和(02)，D．(2,0)和(2,0)（5）如图，曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线l过点(2,0)，且(1)2f，则(1)f的值为A．1B．1C．2D．3（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到0t时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为0h.水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（7）设z为复数，则“iz”是“2izz”的A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件（8）已知直线1l：0mxym与直线2l：10xmy的交点为Q，椭圆2214xy的焦点为1F,2F，则12QFQF的取值范围是A．[2,)B．[23,)C．[2,4]D．[23,4]ABCD二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。（9）请写出一个复数z，使得2iz为实数.（10）双曲线2214yx的渐近线方程是.（11）已知抛物线22ypx经过点(4,4)A，则准线方程为，点A到焦点的距离为.（12）直线l与抛物线22xy交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线互相垂直，其中A点坐标为(2,2)，则直线l的斜率等于.（13）已知1F,2F为椭圆C：22221(0)xyabab的两个焦点，过点1F作x轴的垂线，交椭圆C于,PQ两点.当△2FPQ为等腰直角三角形时，椭圆C的离心率为1e，当△2FPQ为等边三角形时，椭圆C的离心率为2e，则12,ee的大小关系为1e______2e（用“”,“”或“=”连接）（14）已知()()()fxaxbxc，()()gxxfx（0a），则下列命题中所有正确命题的序号为________.①存在,,abcR，使得()fx，()gx的单调区间完全一致；②存在,,abcR，使得()()fxgx，()()fxgx的零点完全相同；③存在,,abcR，使得()fx，()gx分别为奇函数，偶函数；④对任意,,abcR，恒有()fx，()gx的零点个数均为奇数.三、解答题共4小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本小题共12分）已知圆22:40Cxyxa，点(1,2)A在圆C上.（Ⅰ）求圆心的坐标和圆的半径；（Ⅱ）若点B也在圆C上，且25AB，求直线AB的方程.（16）（本小题共12分）已知函数32()fxaxbxxc，其导函数()yfx的图象如图所示，过点1(,0)3和(1,0).（Ⅰ）函数()fx的单调递减区间为_____________，极大值点为____________；（Ⅱ）求实数,ab的值；（Ⅲ）若()fx恰有两个零点，请直接写出c的值.（17）（本小题共10分）已知椭圆:W22221xyab0ab的离心率63e，其右顶点2,0A，直线l过点B(1,0)且与椭圆交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）判断点A与以CD为直径的圆的位置关系，并说明理由.（18）（本小题共10分）已知函数21()e2xfxax()aR．（Ⅰ）如果曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线的斜率是0，求a的值；（II）当3a，[0,1]x时，求证：()1fx；（Ⅲ）若()fx存在单调递增区间，请直接写出a的取值范围.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案2019.4数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案DADBCCAD二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9.2i（答案不唯一）10.2yx11.1x;512.3413.14.②③（对一个得2分，有错误不给分）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.解：（Ⅰ）因为点(1,2)A在圆2240xyxa上,所以1440a.解得1a.所以圆的方程为22410xyx，即22(2)5xy.所以圆心坐标为(2,0)，圆的半径r为5.（Ⅱ）因为点A，点B都在圆上，且252ABr,所以直线AB经过圆C的圆心.所以直线AB的斜率02221k.所以直线AB的方程为2(2)yx，即24yx.16.解：（Ⅰ）1(,1)3，13注：每空2分，第一个空开闭均可，第二个空填13x=也给分，填1(,0)3不给分.（Ⅱ）因为2()321fxaxbx¢=++，由题意知，1()0;3(1)0.ffì¢=ïíï¢=î即22113210;33312110.ababì骣ï琪??=ï琪í桫ï??=ïî解得1,2.abì=ïí=-ïî（Ⅲ）0c=或4.27-17.解：（Ⅰ）由题意可知，62,3caea，所以263c.因为22284433bac，所以椭圆的方程为221443xy.（Ⅱ）点A在以CD为直径的圆上.设C坐标为11(,)xy，D坐标为22(,)xy.①当直线l斜率不存在时，则l的方程为1x.由221,34.xxy得1,1.xy不妨设C(1,1)，D(1,1).所以(1,1),(1,1)ACAD.所以0ACAD.所以ACAD.所以点A在以CD为直径的圆上.②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为(1)ykx.由22(1),34.ykxxy得2222(13)6340kxkxk所以212221226,1334.13kxxkkxxk所以1122(2,),(2,)ACxyADxy.所以1212(2)(2)ACADxxyy.21212(2)(2)(1)(1)xxkxx2121212122()4[()1]xxxxkxxxx22222222234634624(1)13131313kkkkkkkkk2222330.1313kkkk所以0ACAD.所以ACAD.所以点A在以CD为直径的圆上.综上，点A在以CD为直径的圆上.18.解：（Ⅰ）()exfxax¢=-，由题意知，(1)0f¢=即e=0a-，所以=ea.（Ⅱ）当3a=时，23()e2xfxx，所以()3exfxx¢=-.令()()gxfx，所以()3exgx.因为[0,1]xÎ，所以e[1,e]xÎ.因此()3e0xgx恒成立.所以当[0,1]xÎ时，()()gxfx单调递增.又因为'(0)10f=-，'(1)3e0f=-，所以存在唯一的0(0,1)xÎ，使得0'()0fx=.列表如下：x00(0,)x0x0(,1)x1()fx¢1--0+3e-()fx1-极小值3e2-当[0,1]xÎ时，{}max3()max(0),(1)max1,e12fxff禳镲==--=-睚镲铪.所以当3a=,[0,1]xÎ时，()1.fx?（Ⅲ）(,0)(e,)aU.