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(六)第6讲函数的奇偶性与周期性时间/45分钟分值/100分1.下列函数中,在其定义域上是偶函数的是()A.y=2-xB.y=x-3C.y=D.y=lg(2-x)-lg(2+x)2.[2018·孝义一模]若函数f(x)={--为奇函数,则f[g(2)]=()A.-2B.-1C.0D.23.[2018·泉州3月质检]已知函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(x+4),f(1)=1,则f(-9)=()A.-1B.-5C.1D.54.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是()A.减函数B.增函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数5.若函数f(x)=-是奇函数,则实数m=.6.[2018·烟台诊断]定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈(-1,0)时,f(x)=e-x,则f()=()A.√B.-√C.√D.-√7.[2018·郑州外国语学校调研]已知函数f(x)=·-是定义在R上的奇函数,且函数g(x)=在(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为()A.-1B.-2C.1D.28.[2019·广东六校一联]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),f(x)=-f(-x),且在[0,1]上有f(x)=x2,则f()=()A.B.C.-D.-9.若函数f(x)(x∈R)满足f(-1+x),f(1+x)均为奇函数,则下列四个结论正确的是()A.f(-x)为奇函数B.f(-x)为偶函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+3)为偶函数10.[2018·邯郸期末]函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f()的值为()A.B.C.-D.-11.[2018·天津河西区三模]设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)={--若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是()A.-1B.-C.-D.12.[2019·云南曲靖一中月考]已知函数f(x)=ln(|x|-1)-lo(x2+1),则使不等式f(x)-f(2x-1)0成立的x的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞-)C.(-∞-)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)13.已知函数f(x)=ln(x+√),若实数a,b满足f(a)+f(b-2)=0,则a+b=()A.-2B.-1C.0D.214.[2018·延安模拟]若函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=lg(x+1),则满足f(2x+1)1的实数x的取值范围是.15.(10分)设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积;(3)写出函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调区间.16.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=-是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.17.(5分)[2018·天津南开区模拟]设f(x)=ex,f(x)=g(x)-h(x),且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数m,使得当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0恒成立,则m的最小值为()A.-B.C.-D.-18.(5分)[2018·南充二诊]已知函数f(x)=-,函数g(x)对任意的x∈R,都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,且y=f(x)与y=g(x)的图像有m个交点,分别记为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑(xi+yi)=.(六)1.C[解析]易知y=2-x在其定义域上是非奇非偶函数,y=x-3在其定义域上是奇函数,y=在其定义域上是偶函数,y=lg(2-x)-lg(2+x)在其定义域上是奇函数,因此选C.2.D[解析]∵函数f(x)={--为奇函数,∴(x)=-2x+2,∴(2)=-22+2=-2,∴f[g(2)]=f(-2)=22-2=2,故选D.3.C[解析]因为f(x)是偶函数且周期为4,所以f(-9)=f(9)=f(8+1)=f(1)=1,故选C.4.B[解析]因为f(x)是R上以2为周期的偶函数,且在[-1,0]上是减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.故选B.5.[解析]∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即--=--,∴-x-2m+1=-x+2m-1,∴-2m+1=2m-1,∴m=.6.B[解析]因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,则f()=f(-)=f().因为函数f(x)为奇函数,且当x∈(-1,0)时,f(x)=e-x,所以f()=-f(-)=-=-√,即f()=-√,故选B.7.A[解析]∵函数f(x)=·-是定义在R上的奇函数,∴f(0)=-=0,则a=±1,经检验当a=-1或a=1时函数f(x)均为奇函数.∵函数g(x)==1+在(0,+∞)上单调递增,∴a0,∴a=-1,故选A.8.D[解析]∵f(x)=f(2-x)且f(x)=-f(-x),∴f(x)=-f(-x)=-f(2+x)=f(-2-x)=f(x+4),∴函数f(x)是周期为4的奇函数.又∵在[0,1]上有f(x)=x2,∴f()=f(-)=-f()=-.9.C[解析]∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,∴函数f(x)的图像关于点(1,0)及点(-1,0)对称,∴f(x)+f(2-x)=0,f(x)+f(-2-x)=0,故有f(2-x)=f(-2-x),∴函数f(x)是周期为4的周期函数,∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),∴f(-x+3)=-f(x+3),∴f(x+3)是奇函数.故选C.10.A[解析]由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴f(x)的周期为2.当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f()=f()=2××(-)=,故选A.11.B[解析]易知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,则由f(1-x)≤f(x+m),得|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,即g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0在x∈[m,m+1]时恒成立,则{-解得-1≤m≤-,即m的最大值为-.12.D[解析]函数f(x)=ln(|x|-1)-lo(x2+1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),在定义域上为偶函数,且当x1时,f(x)是增函数,所以f(x)-f(2x-1)0⇒f(x)f(2x-1)⇒|x||2x-1|,两边平方得x24x2-4x+1,即3x2-4x+10,解得x或x1,故x-1或x1,所以不等式f(x)-f(2x-1)0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),故选D.13.D[解析]易知f(x)+f(-x)=ln(x+√)+ln(-x+√-)=0,∵f(a)+f(b-2)=0,∴f(a)=f(2-b),由f(x)=ln(x+√),可得f(x)单调递增,∴a=2-b,∴a+b=2.故选D.14.(-5,4)[解析]∵当x≥0时,f(x)=lg(x+1),∴f(9)=1,且f(x)在[0,+∞)上单调递增.∵f(x)是偶函数,∴由f(2x+1)1得f(|2x+1|)f(9),又∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|2x+1|9,解得-5x4,∴实数x的取值范围是(-5,4).15.解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以fπ=fπ-4)=-f(4-π=-(4-π=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图像关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,f(x)的周期为4,所以f(x)在区间[-4,4]上的图像如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图像与x轴围成的图形的面积S=4S△OAB=4×()=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).16.解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即-=0,解得b=1,所以f(x)=-,又f(1)=-f(-1),所以-=--,解得a=2.(2)由(1)知f(x)=-=-+,易知f(x)在R上为减函数.因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于f(t2-2t)-f(2t2-k)=f(k-2t2).因为f(x)为减函数,所以由上式得t2-2tk-2t2.由题意知,对任意t∈R,3t2-2t-k0恒成立,所以Δ=4+12k0,解得k-.17.A[解析]由f(x)=g(x)-h(x),即ex=g(x)-h(x)①,得e-x=g(-x)-h(-x),又g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数,所以e-x=g(x)+h(x)②.联立①②,可以解得g(x)=(ex+e-x),h(x)=(e-x-ex).由mg(x)+h(x)≥0,即m·(ex+e-x)+(e-x-ex)≥0,得m≥---,即m≥--1.因为存在实数m,使得当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0恒成立,且--1在[-1,1]上的最大值为-,所以m≥-,所以m的最小值为-,故选A.18.3m[解析]对任意的x∈R,都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,即g(2018-x)+g(x-2016)=4,故g(x)的图像关于点(1,2)中心对称,函数f(x)=-=2+-的图像也关于点(1,2)中心对称,故两个函数图像有相同的对称中心,故每两个关于(1,2)对称的交点的横坐标之和为2,纵坐标之和为4,故得到x1+x2+…+xm=×2=m,y1+y2+…+ym=×4=2m,故∑.