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等腰三角形的存在性问题解题策略主讲人：成炎森专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分钱。解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。几何法一般分三步：分类、画图、计算。代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。XX新年车友会年会主持稿这篇《》,是特地,希望对大家有所帮助!热门演讲推荐:竞聘演讲稿|国旗下演讲稿|英语演讲稿|师德师风演讲稿|年会主持词|领导致辞男:尊敬的各位来宾、各位车友。女:女士们、先生们,大家——合:晚上好!!男:又是一年春华秋实、盘点收获的岁尾又是一个欢天喜地、群情激荡的时刻女:又是一度高朋满座,欢聚一堂的相逢又是一场美酒飘香、互叙衷肠的盛会男:今晚是风行天下俱乐部车友的相聚时刻女:今晚是东营健身运动爱好者的团圆时刻男:我们相聚在这里,享受缘分带给我们的欢乐,回忆骑行送给我们的美好时光女:我们相聚在这里,用我们的心来感受真情,用我们的爱来融化冰雪。今晚,让我们一起度过这个美好的夜晚,见证车友XX年充满快乐的岁月男:XX年风行天下自行车运动俱乐部车友年会现在开始,鸣炮!(蚂蚱音乐配合)环节:嘉宾合影女:介绍出席今天年会的嘉宾,女:有请各位嘉宾双手交叉彼此相握、合影留念,祝友谊地久天长。男:(旁白)相同的爱好让我们相聚在一起,风行是自行车爱好者的一个符号,正是有了像风行天下一样的众多符号,生活在同一个城市的我们平添了走出去例题解析例1如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为（3，4），点P是X轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标。【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO=DP，②OD=OP，③PO=PD。①当DO=DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与X轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为（6，0）（如图1-2）上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算。代数法先设点P的坐标为（X，0），其中X＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）。DO2=52，OP2=X2，PD2=(X-3)2+42①当DO=DP时，52=(X-3)2+42，解得X=6，或X=0。当X=0时既不符合点P在X轴的正半轴上，也不存在△DOP。②当OD=OP时，52=X2，解得X=±5，当X=-5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在X轴的正半轴上（如图1-5）③当PO=PD时，X2=(X-3)2+42，这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意见是两条直线（X轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点。代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验。例2如图2-1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时由停止运动，在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值。【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ=t，CP=10-2t，因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆。这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ，使得画图简洁，计算简练。例3如图3-1，直线y=2x+2与X轴交于点A，与y轴交于点B，点P是X轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标。【解析】我们先用代数法解这道题由y=2x+2得，A（-1，0），B（0，2），所以OA=1，OB=2。如图3-2，由于∠QPA=∠ABO，所以OP:OQ=OB:OA=2:1设点Q的坐标为（0，m），那么点P的坐标为（2m，0）因此AP2=（2m+1）2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+(2m)2=5m2我们再用几何法验证代数法，并进行比较，如图3-3，在直线PQ平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO的大小是不变的，因此△PQA也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P，点P在点A的右侧，暂时不画y轴（如图3-4）①如果AP=AQ，以A为圆心、AP为半径画圆，得到点Q（如图3-5），因为点Q在y轴上，于是“奇迹”出现了，点A（-1，0）怎么可以在y轴的右侧呢？我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便。例4如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D，当△APD是等腰三角形时，求m的值。【解析】点P（0，m）在运动的过程中，△APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解。因为PC∥DB，M是BC的中点，所以BD=CP=2-m，所以D（2，4-m）于是我们可以罗列出△APD的三边长（的平方）：AD2=(4-m)2，AP2=m2+4,PD2=22+(4-2m)2例5如图5-1，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B，设BD的长为X，如果△ADE为等腰三角形，求X的值。【解析】在△ADE中，∠ADE=∠B大小确定，但是夹∠ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了。本题的已知条件∠ADE=∠B=∠C非常典型，由于∠ADC=∠ADE+∠1，∠ADC=∠B+∠2，∠ADE=∠B，所以∠1=∠2，于是得到典型结论△DCE∽△ABD直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程。有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起。如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到，怎样画直角三角形的示意图？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）例题解析【解析】我们看到，在画图时，无须受到△ABC的“限制”，只需要取其确定的∠B【解析】【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况.如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点。以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点，如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点。由题意，得点B的坐标为（2，0）,且∠BAP不可能成为直角。例4如图4-1，已知直线y=kx-6经过点A(1，-4),与x轴相交于点B.若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然，而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的将A(1，-4)代入y=kx-6,可得k=2.所以y=2x-6,B(3,0).设OQ的长为m分三种情况讨论直角三角形ABQ:三种情况的直角三角形ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便。已知A（1，-4）、B(3，0),设Q（0，n）,那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2，AQ2和BQ2，在按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了【解析】【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D看作主动点，那么CE就是从动线段，反过来画图，点E在以CA为半径的⊙C上，如果把点E看作主动点，再画∠ACE的平分线就产生点D了。（3）因为DA=DE，所以只存在∠ADE=90°的情况。①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA=∠CDE=135°此时△CDH是等腰直角三角形，DH=CH=3，所以AD=AH-DH=1②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA=∠CDE=45°,此时△CDH是等腰直角三角形，DH=CH=3，所以AD=AH+DH=7相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步；寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4。应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6。应用判定定理3解题不多见。如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。例题解析【解析】【解析】【解析】【解析】③如图4-4，当点P在BA的延长线上时，∠B与∠PCA不可能相等.在△AOB中，根据大边对大角，∠B＞∠BAO；∠BAO又是△PCA的一个外角，∠BAO＞∠PCA.【解法二】如图5-2，△AOB是确定的，△AOB与△EOD有公共点O，OB:OD＝1:2,∠BOD＝90°如果△EOD∽△AOB，我们可以把△AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B′落在OD上，此时旋转角为90°，点B′恰好落在OD的中点。按照这个运动规则，点A（1，4）绕着点O顺时针旋转90°，得到点A′（4，-1），点A′是线段OE的中点，因此点E的坐标为（8，-2）如图5-3，点E（8，-2）关于直线OD（即直线y=-X）对称的点为E′（2，-8）【解析】我们另起炉灶，按照判定定理1来解决△ABP与△FBD有公共角∠B，我们以∠D为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，∠BAP=∠D是不可能的，这是因为∠BAP是等腰三角形ADE的外角，∠BAP=2∠D第二种情况，如图6-4，当∠BPA=∠D时，在△ABP中，由于∠BAP=2∠D=2∠BPA因此45°+3∠BPA=180°，解得∠BPA=45°此时△ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t=8解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究，在讨论第二种情况∠BPA=∠D时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等。