线性代数教案-第一章

1线性代数大学数学中两门最重要的课程是线性代数和微积分.大学数学系本科的其它数学课程都是以线性代数和微积分为基础的.线性代数是讨论矩阵理论,有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科.线性代数在数学,物理学(量子力学),计算机图形学(数据结构),密码学等学科有重要的应用.我的研究方向是代数群和量子群,线性代数是我的这个研究方向的理论基础.大家在刚开始学这门课时,可能会觉得有些痛苦.可能会觉得概念太多,太抽象,这是一个正常现象.等到你们把这门课学完以后,你们会发现其实这门课一点也不抽象,很多概念的提出都是很自然的.本书主要讨论线性方程组的求解及其应用,并且介绍一点简单的向量空间和线性变换的知识.第一章引入行列式求解未知数个数和方程个数相等的方程组,并且要求系数行列式不为零.(克拉默法则)第二章引进矩阵的概念并且研究矩阵具有的性质第三章研究如何利用矩阵的初等行变换求解一般的线性方程组.第四章通过引入向量组的线性相关性的理论进一步研究线性方程组的解得结构.第五章线性方程组理论的应用:如何利用正交矩阵把对称矩阵化简为对角矩阵,二次型的化简问题.第六章抽象的向量空间和线性变换理论.第一章行列式§1二阶与三阶行列式解方程是代数中的一个基本问题.在中学中,我们解过一元,二元,三元一次方程组,一元二次方程.我们知道一元二次方程有求根公式,其实一元三次方程,一元四次方程也有根式求解,但是一般高于四次的一元方程是不能用根式求解的.这个问题是伽罗瓦通过引入群的概念彻底解决的,他把一元高次方程的根式求解问题转化为群论的问题,然后通过研究群的一些性质最终解决了根式求解的问题.在这门课程当中我们不讨论高次方程组的求解问题,我们讨论的是多元一次方程组的求解问题,也就是讨论线性方程组的求解问题.在这本书的前面三章中,我们主要讨论多元一次方程组的求解问题.第一章引进行列式的概念来求解线性方程组.第二章引进矩阵的概念,并且讨论矩阵的一些基本性质.第三章我们讨论利用矩阵这个工具来研究线性方程组的求解问题.我们现在来看一个二元一次方程组11112212112222axaxbaxaxb,其中12,xx是未知数.若112212210aaaa,则122212112211121122122111221221,babaababxxaaaaaaaa令1112112212212122aaaaaaaa称为数表11122122aaaa对应的二阶行列式.二阶行列式11122122aaaa中,其中从11a到22a的斜线称为主对角线.从12a到21a的斜线称为副对角线.所以二阶行列式等于主对角线上两个元素11a和22a的乘积减掉副对角线上两个元2素12a和21a的乘积.例:232635356.112122212222babababa,111211112122abbabaab.则112222111122122,babaxaaaa,111212211122122.ababxaaaa.注意分母都是二阶行列式11122122aaaa,ix的分子也是二阶行列式,它是把11122122aaaa中的ix的系数换成常数项所得的一个二阶行列式.在第7节中我们会看到类似的结论对于一般的n元一次方程组也成立,这样的性质称之为克拉默法则.三阶行列式我们在第3节介绍.§2全排列及其逆序数定义:由1,2,,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.例如231是一个三级排列.所有的三级排列:123,132,213,231,312,321.定义:在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,则称之为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.例如:排列2431中,21,43,41,31都是逆序.2431的逆序数是4.记12()njjj排列12njjj的逆序数.定义:逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.例:(2431)4,所以2431是偶排列.(3214)3,所以3214是奇排列.逆序数的计算：设12nppp为1,2,,n的一个全排列，则其逆序数为12ntttt其中it为排在ip前，且比ip大的数的个数.例:求排列13(21)24(2)nn的逆序数.解:10t,20t,,0nt,11ntn,22ntn,,20nt.所以21(1)(13(21)24(2))(1)(2)02niinnnntnn.□§3n阶行列式的定义下面可用n级排列的方式改写二阶，三阶行列式.二阶行列式121212()1112112212211221221jjjjjjaaaaaaaaaa是一个二级排列.其中12()jj是12jj的逆序数，求和符号Σ是对所有二级排列求和.三阶行列式的定义:111213212223112233122331132132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa112332122133132231aaaaaaaaa123123123()1231jjjjjjjjjaaa是一个三级排列.其中123()jjj是123jjj的逆序数,求和符号Σ是对所有三级排列求和.下面我们来定义一般的n阶行列式.3定义:12121211121()2122212121nnnnjjjnjjnjjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa是一个级排列,称为数表111212122212nnnnnnaaaaaaaaa的一个n阶行列式,其中12()njjj一个排列12njjj的逆序数.简记为det()ija.其中从11a到nna的斜线称为主对角线.从1na到1na的斜线称为副对角线.ija位于这个数表的第i行第j列,称为行列式的()i,j元.根据后面的定义,n行n列的数表称为n阶矩阵,而行列式称为这个矩阵对应的行列式.注意:1.求和符号Σ是对所有的n级排列求和,所以该和式共有n!项.2.1212njjnjaaa是行列式的不同行不同列的元素的乘积.3.1212njjnjaaa这一项的乘积顺序是按照行指标来排列的,行指标是按照自然顺序12n排列,求和是对列指标求和,列指标取遍所有的n级排列.4.n=1时,一阶行列式|a|=a,不要与绝对值记号混淆.由上可知,n阶行列式恰好是它的不同行不同列的n个元素的乘积的代数和.★例1.证明121200nn,1(1)2212(1)00nnnn.(对角行列式)证:记111a,222a,,nnna.因为行列式等于不同行不同列的n个元素的代数和,行列式的第一行除了11a以外其余元素都是零,所以第一行只能取11a,第二行除了22a以外其余元素都是零,所以第二行只能取22a,类似的第n行除了nna以外其余元素都是零,所以第n行只能取nna,所以1122(12)112212(1)00nnnnnnaaaaaa.记11nb,2,12nb,,1nnb.因为行列式等于不同行不同列的n个元素的代数和,行列式的第一行只能取1nb,第二行只能取2,1nb,类似的第n行只能取1nb,所以1(1)2,1((1)21)212,11121(1)(1)00nnnnnnnnnnnbbbbbb.□4★例2.证明(1)1111220*nnnnaaaaa.(下三角行列式)(2)111122*0nnnnaaaaa.(上三角行列式)证:只证(1).因为行列式的第一行除了11a以外其余元素都是零,所以第一行只能取11a,第二行除了12a和22a以外其余元素都是零,但是因为行列式等于不同行不同列的n个元素的代数和,而12a和11a在同一列,所以第二行不能取12a,只能取22a,类似的第n行只能取nna,所以11(12)11221122(1)0*nnnnnnnaaaaaaaa.□定理.12121211121()2122212121nnnniiiniiiniiinnnnnaaaaaaaaaaaa是一个级排列.在这个求和当中,我们是把列指标按自然顺序排列,行指标取遍所有的n阶排列.这个定理用来证明下面一节的性质1.§5行列式的性质对于一般的行列式,直接按定义计算是非常复杂的,在这一节中我们介绍行列式的一些基本性质.然后我们通过几个例子来说明如何利用这些行列式的性质来计算一般的n阶行列式.记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa,则112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa称为D的转置行列式.(transpose)例123456789D,147258369TD.注意：D的),(ji元＝TD的),(ji元.性质1.TDD.由这个性质知道行列式的行指标和列指标的地位是一样的,所以行列式的对行成立的性质对列也成立.证：记nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211.则jiijab.5由上面的定理知nnniiiniiiiiiTbbbD21212121)()1(nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1(D.□性质2.ir表示行列式的第i行,ic表示行列式的第i列交换行列式的ji,两行记做jirr.交换行列式的ji,两行记做jicc.若1()ijijrrDDcc或,则DD1.例13123789123456456456789123789rrD.12213123546456879789ccD.推论.若行列式有两行（或两列）完全相同,则此行列式为0.证:设行列式D的第i行和第j行完全相同.则ijrrDD,DD.所以0D.□例1234560123D.性质3.行列式的第i行(或列)乘以k,记为ikr(或ikc).设1()iikrDDkc或,则1DkD.例123123456456789789kkkk.所以行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.性质4.行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.例123123456456023123kkkk.性质5.11111111111112122221222122111iinininiinininnnininnnninnnninnaabaaaaabaaabaaaaabaaabaaaaaba.若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.例151515262626373737ababcdcdefef.性质6.把行列式的第j行的k倍加到第i行,记作ijrkr.把行列式的第j列的k倍加到第i列,记作ijckc.6若1()ijijrkrDDckc或,则1DD.例2112312345645263789789rkrkkk.计算行列式.一.利用运算ijrr和ijrkr可把行列式化简成上三角行列式.例1.21323112312312322258012012133812023001rrrrrr.□例2.23421232123212320012021302132021300120012021402140001rrrr.□2节课完例3:计算1123133795.204213571464410102D解:31211123111231001020010223204210204135714635714644101024410102rrrrD5141112311123100102001024302041020410215302153441010200222rrrr234211231112310204102041001020010202153001120022200222rrrr