2020年浙江高考数学一轮复习:对数与对数函数

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对数与对数函数第七节课前·双基落实想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础课堂·考点突破自主研、合作探、多面观、全扫命题题点课后·三维演练基础练、题型练、能力练、全练力保全能返回想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础课前双基落实返回必过教材关返回1.对数概念如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的_____,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化:ax=N⇔_________loga1=0,logaa=1,a=___运算法则loga(M·N)=_______________a0,且a≠1,M0,N0loga=_____________logaMn=_________(n∈R)换底公式换底公式:logab=(a0,且a≠1,c0,且c≠1,b0)对数x=logaNNlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaMMNlogcblogcalogaN返回2.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象定义域为__________值域为___过定点,即x=时,y=当x>1时,;当0<x<1时,当x>1时,;当0<x<1时,性质在区间(0,+∞)上是函数在区间(0,+∞)上是函数(0,+∞)R(1,0)10y>0y<0y<0y>0增减返回3.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线对称.y=xy=logax返回[小题体验]1.函数f(x)=loga(x+2)-2(a>0,且a≠1)的图象必过定点________.答案:(-1,-2)2.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.答案:-12,+∞返回答案:-12333.(2015·浙江高考)计算:log222=________,2=_______.解析:log222=log22-log22=12-1=-12;224log3log3+=22log3·234log=3×234log=3×22log3=33.log23+log43返回必过易错关返回1.在运算性质logaMα=αlogaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为logaMα=αloga|M|(α∈N*,且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.返回[小题纠偏]1.函数y=log0.54x-3的定义域为______.答案:34,12.函数f(x)=log(x+1)(2x-1)的单调递增区间是______.答案:12,+∞返回自主研、合作探、多面观、全扫命题题点课堂考点突破返回考点一对数式的化简与求值基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.(易错题)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.logab·logcb=logcaB.logab·logca=logcbC.loga(bc)=logab·logacD.loga(b+c)=logab+logac解析:利用对数的换底公式进行验证,logab·logca=logcblogca·logca=logcb.答案:B返回2.(2018·台州模拟)lg2516-2lg59+lg3281等于()A.lg2B.lg3C.4D.lg5解析:lg2516-2lg59+lg3281=lg2516-lg2581+lg3281=lg2516×8125×3281=lg2,故选A.答案:A3.计算lg14-lg25÷10012=______.解析:原式=(lg2-2-lg52)×10012=lg122·52×10=lg10-2×10=-2×10=-20.答案:-20返回4.已知函数f(x)=log2x,x>0,3-x+1,x≤0,则f(f(1))+flog312的值是________.解析:因为f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log312<0,所以flog312=3+1=3+1=2+1=3.所以f(f(1))+flog312=2+3=5.答案:5-log312log32返回[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简;(2)将同底对数的和、差、倍合并;(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.返回考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x2<0B.x1x2=0C.x1x2>1D.0<x1x2<1解析:作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨令x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),此时10x1<10x2,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.答案:D返回[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.返回[即时应用]1.函数f(x)=ln|x-1|的图象大致是()解析:当x>1时,f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于x=1对称,故选B.答案:B返回2.(2018·温州适应性训练)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A.52B.3C.72D.4解析:2x=5-2x,2log2(x-1)=5-2x,即2x-1=52-x,log2(x-1)=52-x,作出y=2x-1,y=52-x,y=log2(x-1)的图象(如图).由图知y=2x-1与y=log2(x-1)的图象关于y=x-1对称,它们与y=52-x的交点A,B的中点为y=52-x与y=x-1的交点C,xC=x1+x22=74,∴x1+x2=72,故选C.答案:C返回考点三对数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.常见的命题角度有:(1)比较对数值的大小;(2)简单对数不等式的解法;(3)对数函数的综合问题.返回[题点全练]角度一:比较对数值的大小1.设a=log3π,b=log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a解析:因为a=log3π>log33=1,b=log23<log22=1,所以a>b;又bc=12log2312log32=(log23)2>1,c>0,所以b>c.故a>b>c.答案:A返回角度二:简单对数不等式的解法2.设函数f(x)=log2x,x>0,log12-x,x<0.若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:由题意得a>0,log2a>-log2a或a<0,-log2-a>log2-a,解得a>1或-1<a<0.故选C.答案:C返回角度三:对数函数的综合问题3.已知函数f(x-3)=logax6-x(a>0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间.解:令x-3=u,则x=u+3,于是f(u)=loga3+u3-u(a>0,a≠1,-3<u<3),所以f(x)=loga3+x3-x(a>0,a≠1,-3<x<3).(1)因为f(-x)+f(x)=loga3-x3+x+loga3+x3-x=loga1=0,所以f(-x)=-f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.(2)令t=3+x3-x=-1-6x-3,则t在(-3,3)上是增函数,当0<a<1时,函数y=logat是减函数,所以f(x)=loga3+x3-x(0<a<1)在(-3,3)上是减函数,即函数f(x)的单调递减区间是(-3,3).返回[通法在握]1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤返回2.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.返回[演练冲关]1.(2019·杭州模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为________.解析:当a>1时,f(x)>1等价于8-ax>a在[1,2]上恒成立,即a<8x+1min=83,解得1<a<83.当0<a<1时,f(x)>1等价于0<8-ax<a在[1,2]上恒成立,即a>8x+1max且a<8xmin,解得a>4且a<4,故不存在.综上可知,实数a的取值范围为1,83.答案:1,83返回2.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;解:因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,函数f(x)的定义域为(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减.又y=log4x在(0,+∞)上递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3).返回(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有a>0,3a-1a=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f(x)的最小值为0.返回“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(十四)”(单击进入电子文档)

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