极限论文

第1页求极限的几种方法摘要：极限一直是数学分析中的一个非常重要的内容,并且极限的思想方法也一直贯穿于整个数学分析的学习中.一些基本学分析的关键.而求极限的方法也是多种多样.在本文中,通过归纳与总结,罗列出几种在学习中常用的求极限的方法,并用具体实例加以说明.关键词：极限；不动点；洛必达法则；定积分；泰勒公式1引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限也是研究数学分析的限存在,则考虑如何计算此极限.本文主要针对第二个问题展开论述,即在极限存在的情况下,如何求得极限.2极限的若干求法2.1利用不动点法求极限定理1[1]：设数列nx满足nnxfx1,11xfx,02adedxcbxaxxf,且xf有两个互异的不动点1和2,则当且仅当0b,ad2,042ace时有2212111nnnnxxxx.而当11121xx时,有2limnnx.例1设数列nx满足01x，且21xx,nnnxxx2421，其中0a，,,2,1n求极限nnxlim.解令函数xxxf242,由xxf解得不动点21,22.又因为01x,所以122112111xxxx.第2页故由定理1得2lim1nnx.2.2利用重要极限及其推广求极限2.2.1利用1lim1xxex求极限当所给函数中含有恒等变形将函数化成11xx或11xx的形式,然后利用重要极限公式1lim1xxex或它的变形形式10lim1xxxe求解.例2求极限xxx)111(lim.解xxx)111(lim.1111lim111lim111111lim11eexxxxxxxxx2.2.2利用1lim1xxex的推广求极限定理2[2]：设x,x在点0x(0x可以为无穷大)的某一邻域(0x点除外)内连续,且满足如下条件：(1)0lim0xxx,xxx0lim；(2)kxxxx0lim(k为常数或无穷大),则有kxxxxxeexxx00lim1lim.例3求xxxx3221211lim.解因为02121lim2xxx,xx3lim,2321213lim2xxxx,所以由定理2得233221211limexxxx.第3页2.2.3利用1sinlim0xxx求极限当极限形式中含有三角函数时,一般等变换,然后利用重要极限1sinlim0xxx来求解.例4求极限202cos1limxxx.解202cos1limxxx.2sin2limsin2lim20220xxxxxx注利用这两个重要极限及其推广来求函数的极限时要仔细观察所给函数的形式,只有形式符合或经过恒等变形后符合我们经常使用的变形：0sin()lim1()xxx()1lim(1)()xxex2.3利用极限的四则运算法则求极限函数和数列都有相应的极限四则运算法则,下面以函数极限的四则运算法则为例来进行说明.定理3(函数极限的四则运算法则)[3]：若极限)(lim0xfxx和)(lim0xgxx都存在则函数gf，gf当0xx时极限也存在,且(1))(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx；(2))(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx；又若0)(lim0xgxx,则gf/当0xx时极限存在,且有(3))(lim/)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx.注上述性质对于,,xxx仍成立.例5求极限2324lim222xxxx.解2324lim222xxxx而第4页4)2(lim2xx,5)12(lim2xx,故由极限的四则运算法则可得54122lim2324lim2222xxxxxxx.例6求极限321lim3xxx.解321lim3xxx.41)21)(3(3lim)21)(3()21)(21(lim33xxxxxxxxx注通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先要对函数施行各种恒等变形.例如分子、穷多项的和(或积)为有限项.2.4利用导数的定义求极限定义1(导数的定义)[3]：函数xfy在0x的某领域内有定义,若极限000limxxxfxfxx存在,则称函数在点0x处可导.并称该极限为函数f在点0x处的导数,记作0xf.例7设xf在1x处的导数31f,求极限xxfxfx11lim0.解xxfxfx11lim0.6111111lim1111lim00ffxfxfxfxfxxfffxfxx注在运用此方法的过程中,首先要选好xf.然后把所求极限表示成与xf在定点0x的导数有关的形式.2.5利用单侧极限与极限的关系求极限例8设0,140,00,12xxxxxxf，讨论xf在点0x处的极限是否存在.解因为112limlim00xxfxx,第5页,显然1limlim00xfxfxx.故xf在0x处的极限存在且1lim0xfx.注这种方法适用于求分段函数在分断点处的极限,首先必须考虑分段点的左右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分段点处的极限存在.否则,极限不存在.2.6利用初等函数的连续性求极限(1)任何初等函数在其定义区间上都是连续函数；(2)若)(xf在0xx处连续,则)()(lim00xfxfxx.例9求极限xxx2cos)2ln(sinlim6.解因为6x在初等函数的定义域内,故由函数f的连续性得23ln2)6(2cos)2ln(sinlim6fxxx.注这种方法适用于求函数在连续点处的极限.2.7利用拆项法求极限例10求12322212limnnn.解由于111212nnnn,因此可得12322212limnnn.2111lim21113121211lim2nnnnn注此方法主要应用于求数列各项和的极限.其中数列必须满足其各项通过拆项后能够相互抵消,以此来简便求极限运算的条件.第6页2.8利用泰勒展开式求极限[4]若函数xf在点0x的邻域内存在直至n阶导数,那么xf可以运用具有佩亚诺余项的泰勒公式来表示xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn00200''00'0!)(!2)()()()((1)其中nnxxxR0.xRn称为佩亚诺余项,(1)式称为具有佩亚诺余项的泰勒公式.例11求xxxx121lim0.解在这里可用泰勒公式求解,考虑利用泰勒公式,当0x有.于是.212lim21221lim121lim000xxxxxxxxxxxxxx注在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理.2.9利用定积分的定义求极限定积分也可以称为和式的极限.即knkkbanxfdxxf1lim.这里定积分的值与区间ba,分法无关,与k的取法也无关.关键是确定xfba,,三个量.所以利用定积分定义求和式的极限分)的积分和式的极限.然后利用定积分的定义求得积分和的极限.例12计算极限33321limnnnnn.解由于33321nnnn第7页因此令xxf,10x,它是n等分区间1,0,k取区间nknk,1的右端点构成的积分和.易知函数xf在1,0可积.于是由定积分的定义可知:321lim101dxxnnknkn.即.321lim101dxxnnknkn2.10利用无穷小量的性质求极限定理4(无穷小量的性质)：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.即如果0lim0xfxx,xg在0x的某一邻域内有界,那么0lim0xgxfxx.例13求xxx1sinlim20.解因为11sinx有界,且0lim20xx，所以由无穷小量时的无穷小量.则有02sinlimxxx.注运用定理4来求函数极限,要求所给函数可以分解为两个函数的积,其中一个函数极限为0,另一个函数只要求有界,对其极限并无要求.2.11利用等价无穷小量代换求极限在求乘除表达式的极限时,巧妙运用等价无穷小代换,可以简化计算并求出相应的极限值.定义2(等价无穷小量的定义)[3]：若1)()(lim0xgxfxx,则称)(xf与)(xg是0xx时的等价无穷小量,记作xgxf~0xx.定理5[3]：设函数hgf,,在0xU内有定义，且有xgxf~0xx.(1)若Axgxfxx0lim,则Axhxgxx0lim；(2)若Bxfxhxx0lim,则Bxgxhxx0lim.第8页例14求23202sinlimxxxx.解因为当0x时,有，故有42lim2sinlim23202320xxxxxxxx.注(1)由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,当0x时,常用的等价无穷小代换有:xx~sin，xx~tan，xx~1ln，xex~1，axxa~1，xx21~11，xx~arctan等.(2)等价无穷小代换只能在乘积和商中进行,不能在加减运算中代换,否则会导致错误.2.12利用级数收敛的必要条件求极限定理6(级数收敛的必要条件)[3]：若级数1nnu收敛,则0nun.例15求21!11limnnnn.解设21!11nnunn，则12211!1!limlimnnnnnnnnnnuu.101111lim1nnnn由比式判别法可知1nnu收敛.则由定理6可知0!11lim21nnnn.注此方法主要应用于对级数通项求极限,首先判定级数1nnu收敛，然后利用此必要条件求出它通项的极限.2.13利用洛必达法则求不定式极限第9页在不定式极限中,00型与型是基本的不定式形式,可以直接使用洛比达法则进行求解.2.13.100型不定式极限对于00型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限.定理7[3]：若函数f和函数g满足：(1)0limlim00xgxfxxxx；(2)在点,且0xg；(3)Axgxfxx0lim(A可为实数,也可为或),则Axgxfxgxfxxxx00limlim.例16求xxx1ln4sinlim